Lineáris algebra

Lineáris (vektor) tér

Vektortér: Legyenek a, b, c… számok egy R számtest elemei, x, y, z… pedig egy V halmaz elemi. A V halmazt az R feletti vektortérnek nevezzük, ha

1.) bármely x és y eleme V-hez egyértelműen hozzátarozik V-ből egy x + y-nal jelölt elem, melyet x és y összegének nevezünk, és ez az összeadás rendelkezik a következő tulajdonságokkal:

a.) kommutatív: x + y = y + x,

b.) asszociatív: x + (y + z) = (x + y) + z,

c.) létezik a V-ben a 0, additív egység (zérus elem) úgy, hogy bármely x-re: x + 0 = x,

d.) minden V-beli x-nek létezik -x módon jelölt additív inverze úgy, hogy x + (-x) = 0.

2.) bármely x eleme V-hez és bármely „a” eleme R-hez egyértelműen tarozik V-ből egy a * x -nal jelölt elem, melyet az x szám-szorosának (skalárral való szorzásnak) nevezünk, a következő tulajdonságokkal:

a.) 1 * x = x,

b.) a * (b * x) = (a * b) * x.

3.) a számmal végzett szorzás és az összeadás kétféle módon disztributív:

a.) (a + b) * x = a * x + b * x,

b.) a * (x + y) = a * x + a * y.

A vektorteret szokás lineáris térnek is nevezni.

A vektortér elemeit vektoroknak nevezzük, és általában aláhúzással jelöljük.

A számtest elemeit skalároknak is hívhatjuk.

A továbbiakban feltételezzük, hogy az R a valós számtest. Elemei tehát valós számok. A valós számtestről tudnunk kell, hogy az egy Arhimédeszien, rendezett teljes test.

Ha a vektor fentebb bevezetett általános fogalmától idegenkedünk, akkor gondolhatunk közben a háromdimenziós Euklideszi tér helyvektorai is. Természetesen magasabb dimenziók esetén ez már nehezen járható út.

Lineáris függetlenség: A V vektortér x₁, x₂, … x_n vektorait lineárisan függetleneknek nevezzük, ha az

a₁ * x₁ + a₂ * x₂ + … + a_n * x_n = 0 (1)

összefüggés, csak az a₁ = a₂ = … = a_n = 0 számok esetén áll fenn, ellenkező esetben azt mondjuk, hogy lineárisan függők. Az (1) összefüggést az x₁, x₂, … x_n vektorok lineáris kombinációjának nevezzük. Figyeljük meg, hogy az (1) egyenlet jobb oldalán vektor áll! A vektortér néhány elemét vektorrendszernek is szokták nevezni.

Dimenzió: Egy V vektorteret n-dimenziósnak nevezünk, ha létezik benne n lineárisan független vektor, de bármely n-nél nagyobb darabszámú vektorrendszer már lineárisan függő.

Bázis: Az n-dimenziós V vektortér bármely n számú lineárisan független vektorrendszerét a tér egy bázisának nevezzük, és ezeket a vektorokat pedig, bázisvektoroknak. Szokásos jelölésük: e₁, e₂, … e_n.

Tétel: Az n dimenziós V vektortér minden egyes vektora egyértelműen előállítható a bázisvektorainak lineáris kombinációjaként. (A jegyzet a tételek bizonyításával nem foglakozik.)

Koordináták: Ha e₁, e₂, ... e_n az n-dimenziós tér egy bázisa, és

x = k₁ * e₁ + k₂ * e₂ + ... + k_n * e_n,

akkor a k₁, k₂, ... k_n számokat az x vektor e₁, e₂, ... e_n bázisra vonatkozó koordinátáinak nevezzük.

Euklideszi vektortér: Az olyan vektorteret, amelyben definiálva van egy, (x,y)-nal jelölt,

a.) (x,y) = (y,x), (szimmetrikus)

b.) (a*x,y) = a * (x,y), (a skalár kiemelhető)

c.) (x₁ + x₂,y) = (x₁,y) + (x₂,y), (a tényezői összeadására nézve additív)

d.) (x,x) > 0 ha x <> 0, és (x,x) = 0 akkor és csak akkor, ha x = 0

tulajdonságokkal rendelkező skaláris (vagy másképpen belső) szorzás, akkor azt a vektorteret euklideszi vektortérnek nevezzük. A skalális szorzás eredménye az alapszámtestbeli szám, tehát itt két vektorhoz egy számot rendel a művelet.

Vektor hossza: Az euklideszi vektortér x vektorának |x|-szel (vagy ha nem zavaró, akkor egyszerűen csak x-el) jelölt hossza alatt, az önmagával vett skaláris szorzatának négyzetgyökét értjük:

|x| = Sqrt(x,x). (A legtöbb programnyelvben az Sqrt a négyzetgyökvonás függvénye.)

Két vektor szöge: Az euklideszi vektortér két x,y vektorának szögét a

Cos(φ) = (x,y)/( |x| * |y|)

összefüggéssel értelmezzük.

Ortogonális vektorok: Az euklideszi tér két x, y vektorát ortogonálisnak (merőlegesnek) nevezzük, ha (x,y) = 0, azaz skaláris szorzatuk nulla.

Ortogonális, ortonormált bázis: Az e₁, e₂, … e_n vektorok az n-dimenziós euklideszi vektortérben ortogonális bázist alkotnak, ha páronként ortogonálisak, azaz ha (e_i,e_j) = 0, ha i <> j. Ha az ortogonális bázis vektorai egységnyi hosszúak, azaz ha (e_i,e_j) = 0, ha i <> j és (e_i,e_j) = 1 ha i = j, akkor az e₁, e₂, ...e_n vektorok ortonormált bázist alkotnak.

Tétel: Ortonormált bázis választása esetén az euklideszi vektortér két vektorának skaláris szorzata egyenlő a két vektor koordinátainak szorzatösszegével:

(x,y) = k₁ * l₁ + k₂ * l₂ + ... + k_n * l_n,

ahol a k-k a x, az l-ek pedig az y vektornak a derékszögű koordinátái.

Lineáris transzformációk

Lineáris transzformáció: Ha az n-dimenziós V vektortér minden x vektorához a V tér egy y = A(x) vektorát rendelünk hozzá úgy, hogy teljesülnek a következő feltételek:

a.) A(x₁ + x₂) = A(x₁) + A(x₂), (lineáris, az összeadás és a transzformáció felcserélhető)

b.) A(a * x) = a * A(x), (homogén, skalár kiemelhető)

akkor az A(x) függvény a tér lineáris transzformációjának nevezzük. Az A(x) lineáris transzformációt röviden Ax -szel fogjuk jelölni.

Tétel: Egy lineáris transzformációt egyértelműen meghatározzák a bázisvektorok transzformáltjai. Azaz, ha megmondjuk, hogy az A mit rendel az egyes bázisvektorokhoz, akkor egyértelműen megadtuk a transzformációt, vagyis bármely vektortérbeli vektor transzformáltját is meg tudjuk adni a következőképpen: ha ugyanis

g₁ = Ae₁, g₂ = Ae₂, ... , g_n = Ae_n,

akkor bármely x = k₁ * e₂ + k₂ * e₂ + ... +k_n * e_n transzformáltja:

Ax = A(k₁ * e₂ + k₂ * e₂ + ... + k_n * e_n) =

k₁* Ae₁ + k₂ * Ae₂ + ... + k_n * Ae_n =

k₁ * g₁ + k₂ * g₂ + ... + k_n * g_n,

A linearitása miatt.

Mátrix: Tekintsük az A lineáris transzformációt egyértelműen meghatározó g_j vektoroknak az e₁, e₂, ... e_n bázisra vonatkozó koordinátáit és jelöljük ezeket a_1j,a_2j,...,a_nj-vel. Ekkor g_j = Ae_i = Szumma(i = 1-től n-ig) e_i * a_ij, ( j= 1, 2, ... n). Ha ezeket a koordinátákat egy négyzetes alakú táblázatba rendezzük, akkor egy kvadratikus (négyzetes) mátrixot kapunk:

A= [ a₁₁ a₁₂ ... a_1n

a₂₁ a₂₂ ... a_2n

. . .

. . .

. . .

a_n1 a_n2 ... a_nn ].

A kvadratikus mátrix sorainak (oszlopainak) számát a mátrix rendjének nevezzük.

Tétel: Bármely lineáris transzformációhoz egy adott bázisban egyértelműen hozzárendelhető egy számtáblázat (mátrix) és megfordítva, tetszőleges mátrix egy adott bázisra vonatkozóan egyértelműen meghatároz egy lineáris transzformációt. Így a lineáris transzformációk és a négyzetes transzformációk kölcsönön egyértelmű megfeleltetését adtuk meg.

A lineáris transzformációk leírására, vizsgálatára a mátrixok kényelmes lehetőségeket adnak.

Transzformációk összege: Ha a vektortér bármely x vektorára alkalmazzuk az A és B transzformációt, akkor azt a C transzformációt, amelyet az x vektorra alkalmazni kell, hogy az Ax és Bx összegét kapjuk, az A és B transzformációk összegének nevezzük. Azaz C = A + B azt jelenti, hogy Cx = Ax + Bx.

Mátrixok összege: Ha A és B mátrix azonos rendű, akkor A + B összegükön azt a mátrixot értjük, melynek elemei rendre az A és B megfelelő elemeinek az összege.

Tétel: Ha A és B a V vektortér két transzformációja, akkor ezek összegének adott bázisra vonatkozó mátrixa egyenlő az A és B transzformációk ugyanazon bázisra vonatkozó mátrixának összegével.

Transzformáció szám-szorosa: Az A lineáris transzformációnak a k számmal való szorzatán értjük azt a k * A lineáris transzformációt, amely a tér bármely x vektorához a k * Ax vektort rendeli hozzá.

Mátrix szám-szorosa: Az A mátrix k-szorosán azt a mátrixot értjük, melynek elemei az A mátrix elemeinek k-szorosa.

Tétel: Ha egy transzformáció mátrixa A, akkor a transzformáció k-szorosának a mátrixa egyenlő a transzformáció mátrixának k-szorosával, azaz: k * A.

Transzformációk szorzata: Ha a vektortér bármely x vektorára alkalmazzuk a B transzformációt: y = Bx, majd a transzformációval kapott y vektorra az A transzformációt: z = Ay, akkor azt a C transzformációt amelyet az x-re kell alkalmazni, hogy az egymás után végrehajtott transzformációkkal nyert z vektort kapjuk, az A és B transzformációk szorzatának nevezzük. A transzformációk szorzata nem kommutatív.

Mátrixok szorzata: Legyen az A (m x k), a B pedig (k x n) -es mátrixok. A két mátrix szorzatát sor-oszlop kompozícióval értelmezzük a következőképpen:

A*B=[ a₁₁*b₁₁+a₁₂*b₂₁+...+a_1k*b_k1 ... a₁₁*b_1n+a₁₂*b_2n+...+a_1k*b_kn

a₂₁*b₁₁+a₂₂*b₂₂+...+a_2k*b_k1 ... a₂₁*b_1n+a₂₂*b_2n+...+a_2k*b_kn

. .

. .

. .

a_m1*b₁₁+a_m2*b₂₂+...+a_mk*b_k1 ... a_m1*b_1n+a_m2*b_2n+...+a_mk*b_kn ].

A szorzatmátrix (m x n)-es típusú lesz.

Két mátrix csak akkor szorozható össze, ha az elsőnek ugyanannyi oszlopa van, mint ahány sora a szorzatban a másodiknak. Két különböző típusú mátrix csak egyféle sorrendben szorozható össze. Két azonos rendű kvadratikus mátrix mindkét sorrendben összeszorozható, de az eredmény általában függ a tényezők sorrendjétől, ha nem függ, akkor a két mátrix (transzformáció) felcserélhető.

Tétel: Ha az A és a B, a V vektortér két lineáris transzformációja, akkor ezek szorzatának adott bázisra vonatkozó mátrixa egyenlő az A és B transzformáció ugyanezen bázisra vonatkozó mátrixának - ugyanolyan sorrendben vett - szorzatával.

Transzformáció inverze: Ha a V vektortér A lineáris transzformációja olyan, hogy az Ax₁ = Ax₂ egyenlőség csak x₁ = x₂ eseten teljesül, akkor létezik a V tér egy B transzformációja a következő tulajdonsággal: Bx a V tér egyetlen vektora, amelyhez az A lineáris transzformáció az x vektort rendeli, azaz amelyre ABx = x. Ezt a B transzformációt az A inverzének nevezzük és A^-1-gyel jelöljük és invertálhatónak is, nevezhetjük. A fenti tulajdonságú A lineáris transzformációt nemszingulárisnak (invertálhatónak) mondjuk, ha nem ilyen, akkor szinguláris (nem invertálható). Lineáris transzformáció inverze is lineáris (nemszinguláris) transzformáció. Az invertálható lineáris transzformáció inverzének inverze, önmaga.

Tétel: A V vektortér A lineáris transzformációja akkor és csak akkor nemszinguláris, ha a V bármely f₁, f₂, ... f_n bázisa eseten Af₁, Af₂, ... Af_n vektorok ismét bázist alkotnak, azaz minden bázishoz bázist rendel (bázisba visz át).

Tétel: Az A lineáris transzformációnak akkor és csak akkor létezik inverze, ha mátrixa valamely bázisban nem szinguláris (és ha egyben az, akkor minden bázisban az).

Ahhoz, hogy a lineáris transzformációkkal részletesebben foglalkozhassunk, célszerű jobban megismerkedni a mátrixokkal.

Mátrix algebra

Mátrix: Tekintsük az a_ij valós számoknak egy m sorból és n oszlopból álló elrendezését:

[ a₁₁ a₁₂ ... a_1n

a₂₁ a₂₂ ... a_2n

..................

a_m1 a_m2 ... a_mn ].

Ezt a sémát m x n típusú mátrixnak nevezzük, és a következőképpen jelöljük:

A = [a_ij] (i = 1, 2, ... m; j = 1, 2, ...n). Az a_ij számok a mátrix elemei. Ha m = n akkor a mátrixot n-ed rendű, kvadratikus mátrixnak nevezzük.

Transzponált: A sorok és oszlopok felcserélésével nyert mátrixot az eredeti mátrix transzponáltjának nevezzük, és azt vesszővel jelöljük: A' = [a_ji].

Egyenlőség: Két mátrix egyenlő, ha azonos típusúak és megfelelő helyen álló elemeik egyenlők: A = B ha a_ij=b_ij (i=1, 2, ... m; j = 1, 2, ... n).

Szimmetrikus mátrix: Egy mátrix szimmetrikus, ha egyenlő transzponáltjával: A = A', ferdén szimmetrikus, ha egyenlő transzponáltja negatívjával: A = -A' (ekkor a főátló minden eleme zérus).

Diagonálismátrix: Ha egy kvadratikus mátrix főátlóján (a_ii) elemein kívül valamennyi elemei zérus, akkor azt a mátrixot diagonálismátrixnak nevezzük.

Egységmátrix: Azt a diagonálismátrixot, melynek minden eleme 1, egységmátrixnak nevezzük:

E = [ 1 0 ... 0

0 1 ... 0

............

0 0 ... 1 ].

Zérus mátrix: Azt a (nem feltétlen kvadratikus) mátrixot, amelynek minden eleme 0 zérus mátrixnak nevezzük.

Sor- és oszlopvektor: Az egy sorból álló mátrixokat sorvektoroknak, az egy oszlopból álló mátrixokat oszlopvektoroknak nevezzük:

x = [ a₁ a₂ ... a_n ],

és

x'= [ a₁

a₂

.

.

.

a_n].

Determináns: Az A kvadratikus mátrixból alkotott determinánst az A mátrix determinánsának nevezzük. Jelölése: Det(A) vagy |A|. A determináns értékét a következőképpen számítjuk ki: Det(A) = Szumma(n!) (-1)^I * a_1i1 * a_2i2 *...* a_nin, ahol I az 1, 2, ... n számok i₁, i_{2, ..}. i_n permutációban szereplő inverziók (fordított sorrendben állások) száma, az összegzést pedig, ki kell terjeszteni az 1, 2, ... n számok valamennyi permutációjára.

Előjeles aldetermináns: Ha az A kvadratikus mátrix i-edik sorát és j-edik oszlopát elhagyjuk és így nyert (n-1)-ed rendű minormátrix determinánsát (-1)^(i+j) előjellel látjuk el, akkor az A_ij előjeles aldeterminánst kapjuk. (Az előjel megállapítást sakktábla-szabálynak is szokták nevezni, a bal felső elem esetén +1, a többi sakktáblaszerűen vált.)

Spur: Egy A kvadratikus mátrix spurjának nevezzük a főátlóbeli elemeinek összegét: Spur(A) = Szumma (i = 1-től n-ig) a_ii. A mátrix spurját szokás 'nyom'-nak is nevezni.

Műveletek mátrixokkal:

A + B = (a_ij + b_ij),

k * A = (k * a_ij),

A * B = (Szumma (p = 1-től k-ig) a_ip * b_pj), ahol A=(a_mk) és B=(b_kn).

Adjungált: Az n-ed rendű A=[a_ij] kvadratikus mátrix adjungáltján azt a mátrixot értjük, amelyet az A mátrixból úgy nyerünk, hogy az a_ij elem helyére az A' transzponált ugyanazon helyen álló a'_ij=a_ji elemének előjeles aldeterminánsnak értékét írjuk. Az adjungált mátrixot Adj(A)-val jelöljük.

Szingularitás: Az A kvadratikus mátrixot nem-szinguláris mátrixnak nevezzük, ha az elemeiből alkotott determináns zérustól különböző. Ha a determináns zérussal egyenlő, akkor a mátrixot szingulárisnak nevezzük.

Mátrixok inverze: Ha az A kvadratikus mátrixhoz hozzárendelhető olyan X mátrix, amely kielégíti mind az A * X = E, mind pedig, az X * A = E egyenletet, akkor az A mátrixot invertálhatónak, az X mátrixot pedig, A inverzének nevezzük.

Tétel: Az A mátrix X inverzét a következőképpen határozhatjuk meg:

X = Adj(A)/Det(A).

Tétel: Az A kvadratikus mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha nem szinguláris (azaz a determinánsa nem nulla).

A lineáris transzformációk mátrixa

Tétel: Az A lineáris transzformációnak akkor és csak akkor létezik inverze, ha mátrixa valamilyen bázisban nem szinguláris.

Tétel: Ha az A lineáris transzformáció mátrixa az e₁, e₂, ... e_n bázisban A, akkor az x vektor y = A(x) képének az e₁, e₂, ... e_n bázisra vonatkozó koordinátáit az x vektor ugyanezen bázisra vonatkozó koordinátáiból úgy kapjuk meg, hogy a transzformáció A mátrixával szorozzuk az x vektor koordinátáiból alkotott oszlopvektort.

Identikus leképezés: Azonossági transzformáció, mátrixa az egységmátrix: Ex = x.

Tükrözés: Azokat a transzformációkat, amelyek négyzete az azonossági transzformáció, tükrözéseknek nevezzük: T * T = E.

Vetítés: Azokat a transzformációkat, amelyeknek bármely pozitív egész kitevőjű hatványa önmaga, projekciónak (vetítésnek) nevezzük: P = P^2 = P^3 = ... .

Forgatás: Azokat a transzformációkat, amelyekhez létezik olyan f szám, hogy a transzformáció f-edik hatványa az identikus (azonossági) leképezés, forgatásnak nevezzük: F^f = E. A forgatás mátrixa aszimmetrikus.

Ortogonális transzformáció: Azokat a transzformációkat, amely során a vektor hossza nem változik, ortogonális (egybevágó) transzformációknak nevezzük. Ortogonális transzformáció mátrixát ortogonális mátrixnak nevezzük. Ortogonális mátrix inverze egyenlő a mátrix transzponáltjával. Az ortogonális transzformációt mozgásnak nevezzük, ha mátrixának determinánsa 1, nem valódi mozgásnak, ha a mátrixának determinánsa -1 (Például az origóra való tükrözés a háromdimenziós Euklideszi térben). Az ortogonális transzformáció a vektorok skaláris szorzatát, és így a szögét is változatlanul hagyja: (Ax,Ay) = (x,y).

Szimmetrikus transzformáció: Egy transzformációt szimmetrikusnak nevezünk, ha mátrixa szimmetrikus: A = A'. Ha A = -A', akkor ferdén szimmetrikusnak nevezzük.

Tétel: Bármely lineáris transzformáció felbontható egy szimmetrikus és egy ferdén szimmetrikus transzformáció összegére.

Tétel: Bármely nem szinguláris transzformáció felbontható egy szimmetrikus és egy ortogonális transzformáció szorzatara.

Nyújtás: A k*E mátrix-szal meghatározott transzformációt nyújtásnak nevezzük.

Mátrixok a 2-dimenzós euklideszi térben

1.) Identitás (azonossági):

E = [ 1 0

0 1 ].

2.) x -tengelyre való tükrözés:

T = [1 0

0 -1 ].

3.) y -tengelyre való tükrözés:

T = [ -1 0

0 1 ].

4.) Origóra való tükrözés:

T = [-1 0

0 -1 ].

5.) x -tengelyre való merőleges vetítés (nem invertálható):

P = [ 1 0

0 0 ].

6.) y -tengelyre való merőleges vetítés (nem invertálható):

P = [ 0 0

0 1 ].

7.) x -tengelyre merőleges affinitás (a = 0-ra nem invertálható):

A = [ 1 0

0 a ].

8.) y -tengelyre merőleges affinitás (a = 0-ra nem invertálható):

A = [ a 0

0 1 ].

9.) Középpontos hasonlóság (a = 0-ra nem invertálható):

H = [ a 0

0 a ].

10.) 90 fokos elforgatás jobbra:

R = [ 0 1

-1 0 ].

11.) 90 fokos elforgatás balra:

R = [ 0 -1

1 0 ].

12.) φ szögű elforgatás jobbra:

F = [ cos(φ) sin(φ)

-sin(φ) cos(φ) ].

13.) φ szögű elforgatás balra:

F = [ cos(φ) -sin(φ)

sin(φ) cos(φ) ].

Mátrixok a 3-dimenzós euklideszi térben

1.) Identitás:

E = [ 1 0 0

0 1 0

0 0 1 ].

2.) y-z -síkra való tükrözés:

T = [-1 0 0

0 1 0

0 0 1 ].

3.) x-z -síkra való tükrözés:

T = [ 1 0 0

0 -1 0

0 0 1 ].

4.) x-y -síkra való tükrözés:

T = [ 1 0 0

0 1 0

0 0 -1 ].

5.) x -tengelyre való tükrözés:

T = [ 1 0 0

0 -1 0

0 0 -1 ].

6.) y -tengelyre való tükrözés:

T = [-1 0 0

0 1 0

0 0 -1 ].

7.) z -tengelyre való tükrözés:

T = [-1 0 0

0 -1 0

0 0 1 ].

8.) Origóra való tükrözés:

T = [-1 0 0

0 -1 0

0 0 -1 ].

9.) x-y síkra való merőleges vetítés (nem invertálható):

P = [ 1 0 0

0 1 0

0 0 0 ].

10.) x-y síkra való merőleges affinitás (a: a nyújtási tényező, a = 0-ra nem invertálható):

A = [ 1 0 0

0 1 0

0 0 a ].

11.) Középpontos hasonlóság (a: a hasonlósági tényező, a = 0-ra nem invertálható):

H = [ a 0 0

0 a 0

0 0 a ].

12.) x-tengely körüli α-szögű elforgatás:

R = [ 1 0 0

0 cos(α) -sin(α)

0 sin(α) cos(α) ].

13.) y -tengely körüli β-szögű elforgatás:

R = [ cos(β) 0 sin(β)

0 1 0

-sin(β) 0 cos(β) ].

14.) z -tengely körüli γ-szögű elforgatás:

R = [ cos(γ) -sin(γ) 0

sin(γ) cos(γ) 0

0 0 1 ].

15.) Az α, β, γ által meghatározott többirányú forgatás:

R=[

cos(β)cos(γ) -cos(β)sin(γ) sin(β)

cos(α)sin(γ)+sin(α)sin(β)cos(γ) cos(a)cos(γ)-sin(α)sin(β)sin(γ) -sin(α)cos(β)

sin(α)sin(γ)-cos(α)sin(β)cos(γ) sin(a)cos(γ)+cos(α)sin(β)sin(γ) cos(α)cos(β) ].

Sajátérték, sajátvektor

Karakterisztikus egyenlet és polinom: Az A lineáris transzformációval meghatározott, adott bázisban felírt Ax = k * Ex egyenletet a transzformáció karakterisztikus egyenletének, a Det(Ax – k * Ex) = 0 egyenletet a transzformáció karakterisztikus polinomjának nevezzük.

Sajátérték, sajátvektor: Azokat a k számokat, amelyek kielégítik az Ax = k * x egyenletet az A transzformáció sajátértékeinek, azokat a vektorokat, amelyek ezekhez a sajátértékekhez tartoznak, sajátvektoroknak nevezzük.

Tétel: Az A lineáris transzformáció sajátvektorai, a vektortér A-val szembeni invariáns altereit alkotják (ezek a vektorok csak egy skalárral szorzódnak). Euklideszi térben a különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok egymásra ortogonálisok. A lineáris transzformáció az egységgömbön a sajátirányokba veszi fel extremális (azaz a legkisebb és legnagyobb) értékeit. Egy A lineáris transzformáció a háromdimenziós euklideszi térben az egységgömbből ellipszoidot (általánosságban nem forgásit!) gyárt.

Tétel: Az A lineáris transzformációnak a sajátvektorok által meghatározott bázisra vonatkozó mátrixa diagonális (tengelyirányú nyújtásokból áll).