Prím-spirál

Néhány évvel ezelőtt láttam egy filmet (sajnos nem emlékszem a pontos dátumra, helyre és címre), amelyben szó volt egy nagy titkot felfedő üzenetről, melyet a következőképpen lehetett megismerni: a természetes számokat spirális alakban kellett felírni, minél nagyobb értékig. A következő lépésben csak a prímszámokat kellett meghagyni a táblázatban a többit törölni. Ez után a számokat pontokra kell cserélni, az ábrát sűríteni és az így kapott ábrából lehetett volna az üzenet tartalmára következtetni. Úgy gondoltam ezt kipróbálom, vajon mekkora benne a csúsztatás. Az, hogy némi szabályosság fellelhető az ábrán, kétségtelen. De, hogy valami nagy titkot rejtene, azt kétlem.

Első lépésként lássuk az első 256 számot a kérdéses elrendezésben:

255	254	253	252	251	250	249	248	247	246	245	244	243	242	241	240
196	195	194	193	192	191	190	189	188	187	186	185	184	183	182	239
197	144	143	142	141	140	139	138	137	136	135	134	133	132	181	238
198	145	100	99	98	97	96	95	94	93	92	91	90	131	180	237
199	146	101	64	63	62	61	60	59	58	57	56	89	130	179	236
200	147	102	65	36	35	34	33	32	31	30	55	88	129	178	235
201	148	103	66	37	16	15	14	13	12	29	54	87	128	177	234
202	149	104	67	38	17	4	3	2	11	28	53	86	127	176	233
203	150	105	68	39	18	5	0	1	10	27	52	85	126	175	232
204	151	106	69	40	19	6	7	8	9	26	51	84	125	174	231
205	152	107	70	41	20	21	22	23	24	25	50	83	124	173	230
206	153	108	71	42	43	44	45	46	47	48	49	82	123	172	229
207	154	109	72	73	74	75	76	77	78	79	80	81	122	171	228
208	155	110	111	112	113	114	115	116	117	118	119	120	121	170	227
209	156	157	158	159	160	161	162	163	164	165	166	167	168	169	226
210	211	212	213	214	215	216	217	218	219	220	221	222	223	224	225

Jól látható, hogy néhány prímszám átlós elrendeződésben jelenik meg, de ezek az együttállások nem igazán hosszúak (pl.: 3, 5, 13, 19, 31, 41, 71, 109; vagy: 5, 7, 17, 23, 37, 47, 79, 119, 167, 223). Az is jól látható, hogy bizonyos átlókon egyetlen prímszám sem lesz. (pl.: 0, 4, 8, 16, 24, 36, 48, 64, 80 …) Ugyancsak nem lesz egyetlen prímszám sem, a páros számokat tartalmazó átlókon, ugyanis a táblázat párosság szerint sakktábla-szerű elrendezés (kivéve természetes azt, amelyen az egyetlen páros prímszám, a 2 található). A prímszámoknak ilyentén ábrázolására először Stanislaw Ulam lengyel matematikus 1963-ban gondolt, és ezt az ábrázolást az Ő tiszteletére a matematika Ulam-spirálnak nevezi.

Programozás-technikailag az jelentett némi fejtörést, vajon hogyan lehetne az előbbi számtáblát minél könnyebben létrehozni. A listából kiderül, hogy aránylag egyszerű (természetesen más eszközökkel is lehet hasonlóan egyszerű) kódot sikerült alkotni. A megjelenítő form grafikus méretéhez igazodva a számolás 501972-ig történt.

Íme a végeredmény:

A program listája pedig:

unit UPrimSpiral;

interface

uses
  Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, 

Graphics, Controls, Forms, Dialogs, StdCtrls;

type
TfmPrimSpiral = class(TForm)
btKilepes: TButton;
procedure btKilepesClick(Sender: TObject);
procedure FormPaint(Sender: TObject);
private
{ Private declarations }
public
{ Public declarations }
end;

var
fmPrimSpiral: TfmPrimSpiral;

implementation

{$R *.dfm}

Function Prime(S: Word): Boolean;
Var J: Word;
Begin
Prime:= False; If S In [0,1] Then Exit; Prime:= True;
For J:= 2 To Trunc(Sqrt(S)) Do If (S Mod J)=0 Then
Begin Prime:= False; Break End;
End;

procedure TfmPrimSpiral.btKilepesClick(Sender: TObject);
begin
Close;
end;

procedure TfmPrimSpiral.FormPaint(Sender: TObject);
Var I, M, X, Y: Integer;
    N: LongInt;
    S: String;
begin
  N:= 0; M:= 0;
With Canvas Do
Begin
    X:= ClientWidth Div 2;
    Y:= ClientHeight Div 2;
Repeat
For I:= 0 To M Do
Begin If Prime(N) Then Pixels[X,Y]:= 0; Inc(N); Inc(X) End;
For I:= 0 To M Do
Begin If Prime(N) Then Pixels[X,Y]:= 0; Inc(N); Dec(Y) End;
      Inc(M);
For I:= 0 To M Do
Begin If Prime(N) Then Pixels[X,Y]:= 0; Inc(N); Dec(X) End;
For I:= 0 To M Do
Begin If Prime(N) Then Pixels[X,Y]:= 0; Inc(N); Inc(Y) End;
      Inc(M);
Until N>500000;
Str(N,S); TextOut(10,50,S);
End;
end;

end.