Közepek közötti egyenlőtlenségek

Ezen a lapon a nevezetes közepek és néhány általam elnevezett közép közötti egyenlőtlenségek algebrai bizonyításaival foglalkozom. Kezdjük a közismertekkel.

Nevezetes közepek:

Harmonikus:

Mértani:

Számtani:

Négyzetes:

A nevezetes közepek között az alábbi egyenlőtlenségek állnak fenn:

Biztos vagyok benne, hogy számos helyen ezek bizonyítását már közzétették, de a teljesség kedvéért én is leírnám. A könnyebb olvashatóság kedvéért, mindig egy kiválasztott közepet hasonlítok a többihez. Elsőként a harmonikus közép és az összes többi viszonyát bizonyítom.

Megjegyzés: a képletek alkalmazásánál és az alábbi bizonyításoknál is vegyük figyelembe, hogy 0<a<=b, valamint azt, hogy szükség esetén a>=1 és b>=1, a logaritmusok miatt az exponenciális középnél. Az exponenciális és logaritmikus közepekre vonatkozó bizonyításoknál (ahol ez szükséges) felhasználjuk, hogy az exponenciális függvény szigorúan monoton növekvő függvény.

Harmonikus közép

Mértani közép

Számtani közép

Az általam elnevezett és a vizsgálati körbe bevont közepek:

Inverz négyzetes:

Exponenciális:

Logaritmikus:

Keressük meg ezeknek a helyét a fentebbi közepek között. Kezdjük az inverz négyzetes középpel. Bebizonyítjuk, hogy a helyét a következő egyenlőtlenség helyesen írja le:

Inverz négyzetes közép

Legyen a következő az exponenciális közép. Most induljunk el a négyzetes középtől és haladjunk a harmonikus közép felé.

Exponenciális közép

Eddig jutottunk:

Megpróbáltam az exponenciális közepet a harmonikus és a mértani közép közé illeszteni és bizonyítani a feltételezett egyenlőtlenséget, azt hogy h<=ex. Ez számos próbálkozás után sem sikerült. Arra gondoltam, hogy ez az egyenlőtlenség egyszer igaz, máskor viszont nem, azaz a kettőjük nagyságviszonya változó. Ennek igazolása reményében számítógépet, illetve megfelelő programot hívtam segítségül, amellyel sikerült meghatározni, hogy egy adott b értékhez milyen a-t kell választani, hogy annak környékén az egyenlőtlenség irányt váltson.

Nézzünk néhány futtatási képet. Az a értéke mindig 1-ről indul. DA=0,00001 pedig a növekménye. Az algoritmus akkor áll le, ha az exponenciális közép nagyobbá válik, mint a harmonikus. Elsőnek b=8. Ezt kaptuk:

Az első két sorban olyan értékek találhatók, amelyekre az exponenciális közép a kisebb, a második kettőben már az exponenciális lett a nagyobb. Nézzük mit kapunk, ha b=20.

Azt látjuk, hogy már kisebb a értékre megtörténik a fordulat. Legyen most b=200.

Az a tovább csökkent. Nézzük mi lesz, ha b-t 8-nál kisebbre választjuk.

Nos az utolsó futtatáskor egy kicsivel volt nagyobb a b értéke, mint az e=2,718281… így volt váltás, de ha a b kisebb mint e, akkor nem, és ez valószínű, hogy nem véletlen. Íme:

Ezzel minden kétséget kizárólag megállapíthatjuk, hogy a harmonikus és az exponenciális közepek nagysági viszonya a két alapszám függvénye. Ebben a vonatkozásban az e egy határszámot jelent.

Végül következzék a logaritmikus közép beillesztése a sorba. Ezt a harmonikus középtől indulva vizsgáljuk.

Logaritmikus közép

Eddig jutottunk. Attól függetlenül, hogy milyen a nagyságviszony a harmonikus és az exponenciális közép között igazak a következők:

Következne az utolsó lépés, azaz hogy a logaritmikus közép a négyzetes középnél is nagyobb. Ez nagy valószínűséggel így is van, habár az algebrai bizonyítás még várat magára. Nosza, aki tudja bizonyítani, tegye meg.

Bizonyítás nélkül is bizton állíthatom (ez szerintem az Izogonális cikksorozatomból is kiolvasható), hogy a következő egyenlőtlenségek mind igazak:

Ezzel az általam elnevezett közepek és a hagyományos közepek közötti viszonyok elemzésének a végére értünk. Most egy kicsit visszatérek a hagyományos közepekhez.

Hatványközepek

Lássunk további egyenlőtlenségeket. Elsőként a másodfokú és harmadfokú hatványközép közöttit:

Kicsit általánosabban:

Látható, hogy a hatványközép a hatvány növekedése közben növekszik. Felvetődhet a kérdés: van-e olyan kitevőjű hatványközép, amely nagyobb, mint a logaritmikus közép. Ennek eldöntésére, a nagyságviszony tisztázására, írtam egy programot. Nézzünk néhány futtatási képet. A képernyőn az A és B az a két szám, aminek a közepét vesszük. KMax jelöli a maximális kitevőt, ameddig a táblázatban a közepek megjelennek. A logaritmikus közép értéke külön helyet foglal el, valamint látható az a hatványkitevő, amelytől kezdve a hatványközép már nagyobb, mint a logaritmikus közép.

Látható, hogy ha a közép alapszámai 3 és 8, akkor a 8. hatványú hatványközép már a logaritmikus középnél nagyobb. Ebből adódik a fentebbi kérdésre a válasz: van olyan hatvány, amelyhez tartozó hatványközép nagyobb, mint a logaritmikus közép. Vajon mennyire véletlen az alapszám és a kitevő egyezése. Futtassuk különböző alapszámokra a programot:

Eddig a nagyobb alapszám és a kitevő megegyezett. Vajon ha a kisebbiket növeljük, nem változik-e a helyzet:

De bizony. Ha az intervallum elég kicsi, akkor a nagyobbik számnál is nagyobb az az index, ahol megtörténik a nagyságváltás. Így van ez kis számok körében is:

Nézzük meg lényeges kérdés-e, hogy az alapszámok egészek-e vagy nem. Futtassuk a programot tört értékekre:

Ha a nagyobbik alapszámot 33,3398-ról 33,3399-re változtatjuk, akkor a kérdéses hatványkitevő 33-ról 34-re változik. Nézzük ez mennyire specifikus.

Ha a nagyobbik alapszám 170 körüli, akkor a váltás 170,3468 és 170,3469 között történik meg. Mindenesetre számomra egy kicsit meglepő, hogy a váltás nem egy minden esetre érvényes értéknél, hanem a nagyobbik alapszám környéki hatványkitevőnél történik meg. A fentiekből semmilyen általánosítást egyelőre még nem vonok le, csak a puszta tényeket akartam közölni. Lehet, hogy célszerű lenne ábrázolni azt a függvényt, amely az alapszámok függvényében megadja a váltáshoz tartozó kitevőt.

A Közepek lapon leírtak szerint a hatványközepek egységes alakban is felírhatók. Ennek érzékeltetése végett nézzük a következő egyenlőtlenségsort:

A közös alak természetesen:

Az, hogy a k milyen számot jelöl, nagyon lényeges. Az inverz négyzetes kilóg a sorból, hiszen ekkor k=1/2, egyébként a k egész szám. Nézzünk további lehetőségeket. A k természetesen 0 nem lehet, hiszen 1/0 értelmetlen. De az 1/2 értékből kiindulva, nézzük mit kapunk, ha a k egy pozitív egész számnak a reciproka.

Az ember szimmetriaérzéke azt sugallja, hogy ezek a közepek növekvő k-ra (azaz csökkenő 1/k-ra) egyre kisebb értéket vesznek fel. Lássuk így van-e?

Mint látható 1/3 és 1/2-re igen. Lássuk egy kicsit általánosabban:

Látható, hogy a hatványközép az 1-nél kisebb, de pozitív értékekre egyre kisebb értéket vesz fel. Vajon a csökkentéssel kisebb értéket kaphatunk-e, mint a harmonikus közép. A válasz az, hogy nem. Ugyanis minden pozitív k értékre a hatványközép nagyobb, mint a k=-1-hez tartozó közép, azaz a harmonikus közép mindegyiknél kisebb. Ismét itt az ideje a számítógépnek. A program a hatványközép értékeit a megadható maximális kitevő reciprokáig számolja ki, azaz 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, …1/KMax értékekre. Bármilyen adatokkal is futtatjuk a programot, soha nem találunk olyan hatványközepet, mely a harmonikus középnél kisebb lenne. Íme néhány futtatási kép:

Ha az a és b különbsége nagy, akkor a harmonikus közép és a négyzetes közép különbsége is. Csökkentsük a különbséget.

Még kisebb különbség esetén:

Látható, hogy a négyzetes közép felülről közelíti a harmonikus közepet, de elérni csak a=b esetén tudja, de akkor minden egyenlő.

Ugyanakkor egy újabb kérdést vethetünk fel. Milyen közepeket kapunk, ha k<-1 egész, és ezek hogyan viszonyulnak a harmonikus középhez. Például igaz-e, hogy

Igaz, még a harmonikus középnél is kisebb közepet kaptunk. Ha pedig k=-3, akkor még kisebbet. Íme:

Nem nehéz kitalálni, hogy ha tovább csökkentjük a k értékét, akkor egyre kisebb és kisebb közepet kapunk. Természetesen ennek az alsó határa a lesz.