Differenciálgeometria (8)

 

 

Felületek metszésvonala (2)

 

Most vizsgáljuk meg egy kúp és egy gömb metszetét. A kúp tengelye legyen a z tengely, és legyen középponti helyzetű. A gömb középpontja legyen az (x, z) síkon. Az alakzatok egyenletei:

 

 

A kúp és a gömb metszetének meghatározásához, a két egyenlet felhasználásával, fejezzük ki az x és az y változót a z -vel. Kezdjük azzal, hogy a kúp egyenletéből kivonjuk a gömb egyenletét:

 

 

Így a metszésvonal paraméteres egyenletrendszere:

 

 

Nézzük meg mindezt rajzban:

 

K = 1; R = 2; A = 0; B = 0

 

Ennél az esetnél két kör a metszésvonal.

 

 

K = 1; R = 2; A = 1; B = 2

 

 

K = 1; R = 2; A = 2; B = -2

 

 

K = 0,8; R = 2; A = 1; B = 1

 

 

K = 1; R = 2; A = 2; B = 0

 

 

Most vizsgáljuk meg egy henger és egy gömb metszetét. A henger tengelye legyen a z tengely. A gömb középpontja az x tengelyen legyen. A felületek egyenletei:

 

 

Következhetnek a szokásos lépések:

 

 

A metszet paraméteres egyenletrendszere:

 

 

Nézzünk most is rajzokat. Fokozatosan közelítsük a gömb középpontját a henger tengelyéhez.

 

R1 = 1; R = 2; A = 2,9

 

Ebben az esetben a gömb még alig metsz bele a hengerbe.

 

 

R1 = 1; R = 2; A = 2

 

Most a metszet már elég méretes, átmérője a henger átmérőjénél is nagyobb.

 

 

R1 = 1; R = 2; A = 1,02

 

A metszet két, eredetileg távolabb lévő pontja kezd egymáshoz közelíteni.

 

 

R1 = 1; R = 2; A = 1

 

Kettőspont jött létre, a Viviani görbét kaptuk.

 

 

A kúp és gömb metszésvonalánál is kaptunk egy ehhez nagyon hasonló görbét. A szakirodalom a henger és gömb eme speciális metszetét nevezi Viviani-féle görbének. Lehet, hogy a fentebbi gömb-kúp metszet is Viviani-féle görbe? Járjunk utána. Vegyük fel a gömböt és kúpot a Viviani-görbének megfelelően, és adjuk meg a metszésvonal paraméteres egyenletrendszerét:

 

 

Most hajtsuk végre ugyanezt gömb és henger esetén:

 

 

Jól látható, hogy a paraméteres előállítások azonosak, így ugyanazt a görbét írják le. Vagyis a gömbnek és a kúpnak a fenti metszete szintén Viviani-féle görbe. A Viviani-görbe tehát három felület, a gömb, a henger és a kúp metszeteként is előállítható. Ebből két előállítást már igazoltunk. Nézzük a harmadikat, azaz a kúp-henger párt.

 

 

Ugyanazt a görbét kaptuk. Összefoglalva a három felület és a Viviani-féle görbe:

 

 

Tehát a három felület és metszetük a Viviani-féle görbe:

 

 

R1 = 1; R = 2; A = 0,95

 

Tovább mozgatva a gömböt a henger tengelye irányába a görbe két különálló részre esik szét.

 

 

Most vizsgáljuk meg egy henger és egy körkúp metszetét. A kúp tengelye legyen a z tengely és legyen középponti helyzetű. A henger tengelye legyen párhuzamos az x tengellyel. Ilyen feltételekkel a felületek egyenletei:

 

 

Fejezzük ki x -et és y -t a z segítségével:

 

 

A metszet paraméteres egyenletrendszere:

 

 

Most is nézzünk meg néhány metszetet programmal:

 

K = 1; R = 2; A = 0; B = 0

 

 

K = 1; R = 1,5; A = 1,5; B = 0

 

 

K = 1; R = 1,5; A = 1,5; B = 1

 

 

K = 1; R = 1,5; A = 1,5; B = -1

 

 

Most vizsgáljuk meg egy henger és egy sík metszetét. A henger tengelye legyen a z tengely. Az egyenletek:

 

 

Fejezzük ki x -et és z -t a y segítségével:

 

 

A metszet paraméteres egyenletrendszere:

 

 

Ezt ábrázolva ismerősnek fog hatni, hiszen a metszet természetesen ellipszis:

 

R = 1,5; A = 1; B = -1,5; C = 1

 

 

Végül nézzük meg egy kúpfelület és egy sík metszetét. A kúp tengelye legyen a z tengely és legyen középponti helyzetű.

 

Geometriai ismereteinkből tudjuk, hogy a metszet kúpszelet lesz. Azaz:

- Kör, ha a sík merőleges a kúp tengelyére (ha illeszkedik a kúp csúcsára, akkor a metszet egy pont);

- Ellipszis, ha a sík a kúp tengelyével a kúp fél-nyílásszögénél nagyobb szöget zár be (ha illeszkedik a kúp csúcsára, akkor a metszet egy pont);

- Parabola, ha a sík párhuzamos a kúp valamelyik alkotójával (ha az alkotó benne van a síkban, akkor a metszet egy egyenes);

- Hiperbola, ha a sík a kúp tengelyével a kúp fél-nyílásszögénél kisebb szöget zár be (ha a sík illeszkedik a kúp csúcsára, akkor a metszet egy metsző egyenes-pár).

 

Járjuk végig a szokásos eljárásunkat és lássuk mit kapunk:

 

A két felület egyenlete:

 

 

Nézzük a metszet paraméteres előállítását. Fejezzük ki x -et és y -t a z segítségével:

 

 

A metszet paraméteres egyenletrendszere:

 

 

Nézzünk néhány számítógépes rajzot is:

 

K = 1; A = 0; B = 0; C = 1; D = 1; (kör)

 

 

K = 1; A = 0; B = 0,6; C = 1; D = 1; (ellipszis)

 

 

K = 1; A = 0; B = 1; C = 1; D = 1; (parabola)

 

 

K = 1; A = 2; B = 1; C = -2; D = -1; (hiperbola)

 

 

K = 1; A = 2; B = 1; C = -2; D = 0; (metsző egyenes-pár)

 

 

Következő lap: http://gorbem.hu/MT/DiffGeom9.htm