Differenciálgeometria (7)

Görbék és felületek kapcsolata

A klasszikus differenciálgeometria sokat merített az első és másodfokú síkbeli és térbeli görbék és felületeknek a koordináta geometriában tárgyalt elméletéből. Ebben a részben elsősorban a sík, a gömb, a henger és a kúp egymáshoz való viszonyát, áthatásait tárgyaljuk. De szó esik általánosabb görbék és felületek kapcsolatáról is. A kapcsolatokat mindig konkrét példákkal, feladatokkal mutatjuk be.

Síkbeli görbéket kétféle egyenlettel adhatunk meg:

- F(x, y) = 0 implicit, vagy ha ez például y -ra feloldható, akkor y = F(x) (ez nem ugyanaz az F) explicit alakban, illetve

- vektorparaméteres formában, ami ekvivalens az x = x(t), y = y(t) paraméteres egyenletrendszerrel.

Térbeli görbék esetén a megadási-módok a következők lehetnek:

- F(x, y, z) = 0 és G(x, y, z) = 0 felületek metszeteként, esetleg ha z -re feloldhatók, akkor z = F(x, y) és z = G(x, y) felületek metszeteként. Ez utóbbi F és G nem azonos a mondat eleji F és G -vel, csak a származásra utal. (Az F(x, y, z) = 0 és a z = F(x, y) felület-megadási módot szokás Euler-Monge félének nevezni.)

- az és paraméteresen megadott két felület metszeteként,

- vektorparaméteres formában, ami ekvivalens az x = x(t), y = y(t), z = z(t) paraméteres egyenletrendszerrel.

Illeszkedés

Görbék és felületek közötti kapcsolatból mindjárt az első az illeszkedés. Egy görbe illeszkedik valamely felületre, ha görbe egyenletrendszerét a felület Euler-Monge féle egyenletébe behelyettesítjük, akkor azonosságot kapunk. Tehát könnyen belátható, hogy a

görbe illeszkedik az

felületre. Helyettesítsük a görbe koordinátafüggvényeit a felület megfelelő változói helyére:

Valóban rajta van a görbe a felületen. De vajon mi ez a görbe és mi a felület? Ábrázoljuk őket:

A felület egy elliptikus paraboloid. A görbe a paraboloid csúcscsontjából indul ki két ellenkező irányba úgy, hogy az x tengely az érintője, ebben a pontban az (x, y) a simuló síkja, majd az (y, z) síkra szimmetrikusan, önmagát mindig metszve körbejárja a paraboloidot, és az (x, y) síktól a pozitív végtelen irányába távolodik.

Mutassuk meg, hogy az alábbi görbe egy középpontú gömbre illeszkedik. Adjuk meg a gömb sugarát.

A gömb egyenletéből csak a sugarat nem ismerjük. Ezt ismeretlenként hagyva az egyenletbe a görbét behelyettesítjük:

Nézzük, hogyan néz ki mindez:

A gömb és a görbe is illeszkedik az origóra. Az origó a görbe kettős pontja. A görbe egyszer úgy halad át rajta, hogy érintője az x tengely, másodszor úgy, hogy érintője a z tengely, és minkét esetben az (x, z) sík a simulósíkja.

Igazoljuk, hogy az

görbe az

ellipszoidra illeszkedik. Helyettesítsük a görbe egyenleteit az ellipszoid egyenletébe:

Azaz a görbe valóban az ellipszoidra illeszkedik. Nézzük meg ezt rajzban is. Az ábrázolt ellipszoid paraméterei:

Az ellipszoid fehér, a görbe piros. A kék színű görbék: e(x, z) és e(y, z) a jelölt koordinátasíkokra eső vetületek. Ha felírjuk ezeknek a vetületek az egyenletét, akkor kiderül, hogy ezek ellipszisek.

Az e(x, z) egyenletrendszere:

Az e(y, z) egyenletrendszere:

Az s(x, y) egyenletrendszere, mely egyenesnek látszik:

Tehát a görbe s(x, y) -vel jelölt vetülete (fekete színnel rajzolva) egy origóra illeszkedő szakasz, mely azt mutatja, hogy a görbénk síkgörbe. Ezt a torzió meghatározásával is ellenőrizhetjük.

Mivel azt szeretnénk belátni, hogy a torzió nulla, ezért elegendő a képlet számlálójával foglalkozni:

Valóban látható, hogy a görbe síkgörbe, azaz s(x, y) valóban egy szakasz. A rajzon a görbe síkját, ami egyúttal simulósíkja is, sárga színnel rajzoltuk meg. Mivel a síkgörbe két koordinátasíkra való vetülete is ellipszis, így maga a görbe is ellipszis. Ha A = B, akkor a görbe az y = x síkon van.

Felületek metszésvonala (1)

Lássuk be, hogy a következő görbe egy körhenger és egy hiperbolikus paraboloid (nyeregfelület) metszésgörbéje:

Keresendő tehát két felület, illetve azok egyenlete, amelyeket a fenti paraméteres egyenletrendszer azonossággá tesz. Kezdjük a körhengerrel, egy olyannal, amelynek sugara A és a z koordinátatengely a szimmetriatengelye:

A görbe valóban rajta van a hengeren. Keressünk egy hiperbolikus paraboloidot is:

Mivel a görbénk mindkét felületre illeszkedik, ezért ez nem más, mint a két felület metszésvonala, vagy áthatása. Ellenőrizzük le mindezt számítógéppel:

Adjuk meg a következő két sík metszésvonalának paraméteres egyenletrendszerét:

Mivel a két sík nem párhuzamos, nyilvánvaló, hogy a metszésvonal egy egyenes. A paraméterválasztás alapja legyen: x = t. Írjuk fel a két sík egyenletéből a metszésvonal y = y(x) és z = z(x) egyenleteit. A síkok egyenleteit egymásból kivonva illetve az elsőnek 3 -al való szorzása után őket összeadva a következőket kapjuk:

Rendezzük az egyenleteket:

majd az x = t paramétert beírva, megkapjuk a metszésvonal paraméteres egyenletrendszerét:

Ellenőrzésképpen a metszésvonalat a síkok egyenletébe behelyettesítve láthatjuk, hogy kielégíti mindkét sík egyenletét:

Nézzük meg, hogyan néz ki mindez a koordinátarendszerben. Az első sík piros és szürke, a második fehér és szürke, a metszésvonal pedig kék színű:

Vizsgáljuk meg két hengerfelület metszésvonalát. A hengerek tengelye a z és az y tengely legyen (alkotói merőlegesek egymásra). Ekkor az egyenletek:

Az első hengerre vezessük be a t paramétert a következőképpen:

Vonjuk ki egymásból a két henger egyenletét, és helyettesítsük be az x paraméteres alakját:

Így a metszet paraméteres egyenletrendszere:

Első esetben legyen a két sugár egyenlő. Ekkor a metszésvonal egyenletrendszere:

Ebben az esetben a metszésvonal két ellipszis, és az x = z és az x = -z síkokra illeszkednek. Nézzük meg ezt egy rajzon:

Ha a két henger sugara különböző, akkor a metszet két független görbéből áll. Minél nagyobb a sugarak aránya, annál távolabb vannak egymástól, és egyre jobban hasonlítanak a körhöz. Nézzük meg ezeket három rajzon:

R₁ = 1; R₂ = 1,02

R₁ = 0,8; R₂ = 1,6

R₁ = 0,4; R₂ = 1,6

Vizsgáljuk meg két gömbfelület metszésvonalát. A gömbök középpontja az y tengelyen legyen. (Ez az általánosság csorbítása nélkül megválasztható.) Ekkor az egyenletek:

Ha létezik a két gömb metszete, akkor vagy egy pont, vagy egy kör – az elhelyezkedésüktől függően. Annak feltétele, hogy a két gömbnek legyen metszete és az kör legyen:

Keressük meg a kör középpontját. Az x és z koordináta nulla, az y pedig:

A kör sugara:

Ezek után a rajzoláshoz szükséges egyenletek:

Mindez a következő rajzon látható. A gömbök színe piros, a metszet köre kék, a metszet síkja (simulósík) fehér.

Néhány egyszerű esetre vonatkozóan vizsgáljuk meg két körkúpfelület metszésvonalát. Legyen a kúpok tengelye párhuzamos egymással és az z tengellyel. Az egyik kúp legyen középponti helyzetű, a másik x és z irányba is eltolva. Legyenek adva a kúpok paraméteres egyenletrendszerükkel és írjuk át őket Euler-Monge féle egyenletekre. A középponti helyzetű kúp:

Az eltolt helyzetű (x irányban A -val, z irányban B -vel) kúp:

A két kúp metszetének meghatározásához, a két egyenlet felhasználásával, fejezzük ki az x és az y változót a z -vel. Kezdjük azzal, hogy az első kúp egyenletéből kivonjuk a másodiknak az egyenletét:

Így a metszésvonal paraméteres egyenletrendszere:

Nézzük meg mindezt rajzban:

K = 1; L = 1; A = 1; B = 3

Ebben az esetben a második kúp csúcspontja az első palástján belül helyezkedik el. A metszet egy véges görbe, ellipszis:

K = 1; L = 1; A = 3; B = 1

Ebben az esetben a második kúp csúcsa az első palástján kívül helyezkedik el. A metszet két végtelenbe nyúló görbe, amely hiperbola:

K = 1; L = 2; A = 1,4; B = 0

Ebben az esetben a két kúp nyílásszöge nem egyenlő. A metszet két, egymástól független térgörbe lesz:

Következő lap: http://gorbem.hu/MT/DiffGeom8.htm