Differenciálgeometria (16)

Az előző lapon a felületi görbék görbülete segítségével definiáltunk felületi görbületeket, tételek formájában megfogalmaztuk a köztük lévő kapcsolatokat. A Dupin-féle indikátrix segítségével osztályoztuk a felületi pontokat, megneveztünk különleges felületi vonalakat. Ebben a részben a görbéknél bevált kísérő triéder mintájára, a felületeken is szeretnénk kísérő három-élt bevezetni, és azok deriváltjait vizsgálni ebben a lokális koordinátarendszerben. Abban bízunk, hogy itt is – Frenet képletekhez hasonlóan – fontos összefüggéseket fedezhetünk fel, amelyek valószínűen a görbékhez képest összetettebb kapcsolatok lesznek.

Derivációs formulák

A felület kísérő három-él vektorait célszerű a felület két paramétervonal érintőjének és a rájuk merőleges normál-egységvektornak választani. A paramétervonal-érintők változásait a felületvektornak a paraméterek szerinti, második parciális deriváltjai jelentik. Ezen vektoroknak a felbontása a triéderben:

ahol a meghatározandó együtthatókat jelölnek. Próbáljuk meg ezeket az együtthatókat a felület alapmennyiségeivel kifejezni. Ha az összefüggés mindkét oldalát megszorozzuk n -nel akkor baloldalon a második alapmennyiségeket, jobboldalon pedig c értékeit kapjuk:

Most szorozzuk meg a kifejezés mindkét oldalát a paramétervonal-érintő vektorokkal:

Használjuk a továbbiakban a következő jelölést:

A mennyiségeket elsőfajú Christoffel-féle szimbólumoknak nevezzük. A mennyiségeket pedig másodfajú Christoffel-féle szimbólumoknak nevezzük. Az másodfajú Christoffel-féle szimbólum szimmetrikus a két alsó indexében, ugyanakkor az első szimmetrikus a két szélső indexében. Ezeknek a szimbólumoknak a és deriváltjai segítségével való kifejezéséhez képezzük a -k deriváltjait:

Az egyenleteket összevonva és rendezve, majd a szimmetriákat felhasználva adódik az elsőfajú Christoffel-féle szimbólumnak az első alapmennyiségekből való származtatása:

Jelölje a inverzét . Ha megszorozzuk ezzel az inverzzel a kétféle Cristoffel-féle szimbólum kapcsolatát kifejező egyenlet mindkét oldalát, akkor a másodfajú Cristoffel-féle szimbólumot kapjuk:

A középső egyenletben szereplő a Kronecker-féle szimbólum, mely az egységmátrix elemeit jelenti. Mivel

a paramétervonal-érintők deriváltjai:

ahol mint látható, a is csak az első alapmennyiségeknek és azok deriváltjainak a függvénye. Ez utóbbi egyenleteket Gauss-féle egyenleteknek nevezzük.

A paramétervonal-érintők deriváltjai után nézzük a normálvektor deriváltjainak a felbontását:

Itt is az együtthatók ( és ) meghatározása a feladatunk. Először határozzuk meg a normálvektor együtthatóját. Szorozzuk meg a fenti egyenlet mindkét oldalát n –nel, és vegyük figyelembe, hogy n merőleges a paramétervonal-érintőkre és az n négyzete pedig 1:

Ugyanakkor:

Vagyis az n együtthatói nullák. A normál-egységvektor paramétervonal-érintők szerinti felbontása tehát csak ennyi:

A paramétervonal-érintők együtthatóinak meghatározásához szorozzuk ennek az egyenletnek mindkét oldalát a felület paraméterek szerinti deriváltjával:

Ugyanakkor:

Ebből -val történő szorzással:

ahol a Kronecker-féle szimbólum. Így az n deriválja a kísérő triéderben:

Azaz az együtthatók az első és második alapmennyiségek ismeretében meghatározhatók. Ezeket az egyenleteket Weingarten-féle egyenleteknek nevezzük. Ebből a felbontásból az is kiolvasható, hogy a normálvektor deriváltjai az érintősíkban helyezkednek el.

Néhány felület első és másodfajú Christoffel-féle szimbólumai.

A gömb

A gömb paraméteres előállítása:

Az első alapmennyiségek:

Ezek alapján az elsőfajú Christoffel-féle szimbólumok:

Azaz (felhasználva az első alapmennyiségek ismert szimmetriáját):

A inverze:

Ezek alapján a másodfajú Christoffel-féle szimbólumok:

Azaz:

A henger

A henger paraméteres előállítása:

Az első alapmennyiségei:

Ezek alapján az elsőfajú Christoffel-féle szimbólumok:

Mivel az első alapmennyiségek a paraméterezéstől független állandók, ezért minden paraméter szerinti deriváltja eltűnik. Így az első Christoffel-féle szimbólumok mindegyike nulla. Mivel a másodfajúak ezekkel, mint együtthatókkal való összegzéssel kaphatók, értelemszerűen ezek is nullák.

A kúp

A kúp paraméteres előállítása:

Az első alapmennyiségei:

Ezek alapján az elsőfajú Christoffel-féle szimbólumok:

A nem nulla értékek:

A inverze:

Ezek alapján a másodfajú Christoffel-féle szimbólumok:

A nem nulla értékek:

Az egyenes csavarfelület

Az egyenes csavarfelület paraméteres előállítása:

Az első alapmennyiségei:

Ezek alapján az elsőfajú Christoffel-féle szimbólumok:

A nem nulla értékek:

A inverze:

Ezek alapján a másodfajú Christoffel-féle szimbólumok:

A nem nulla értékek:

A forgásparaboloid

Az forgásparaboloid paraméteres előállítása:

Az első alapmennyiségei:

Ezek alapján az elsőfajú Christoffel-féle szimbólumok:

A nem nulla értékek:

A inverze:

Ezek alapján a másodfajú Christoffel-féle szimbólumok:

A nem nulla értékek:

Egy forgásfelület

Legyen a forgásfelület paraméteres előállítása:

Az első alapmennyiségei:

Ezek alapján az elsőfajú Christoffel-féle szimbólumok:

A nem nulla értékek:

A inverze:

Ezek alapján a másodfajú Christoffel-féle szimbólumok:

A nem nulla értékek:

A forgásfelület Gauss-féle egyenletei:

Szükség van a forgásfelület második alapmennyiségeire, így először ezeket kell meghatározni. Az első deriváltak:

A normálvektor:

A második deriváltak:

A második alapmennyiségek:

A Gauss-féle egyenletek (áttérve u és v paraméterekre):

Gauss első egyenlete:

Gauss második egyenlete:

Gauss harmadik egyenlete:

A forgásfelület Weingarten-féle egyenletei:

Az első Weingarten egyenlet (áttérve u és v paraméterekre):

A második Weingarten egyenlet (áttérve u és v paraméterekre):

Következő lap: http://gorbem.hu/MT/DiffGeom17.htm