Differenciálgeometria (13)

Példák felszínszámításra

Emlékeztetőül nézzük az alkalmazható képleteket. Ha a felület egyenletrendszerrel adott:

Vagy:

Ha a Gauss-féle írásmódot használjuk:

Ha felületet a z = f(x, y) explicit alakban adják meg:

Ha a felületet a implicit alakban adjuk meg:

Ha egy forgásfelület az y = f(x) () görbének az x tengely körüli megforgatásából keletkezik, akkor ez a forgásfelület y² + z² = f²(x) alakban írható fel. Ekkor a felszín:

1.

Számítsuk ki a gömb felszínét. Paraméteres előállítása:

Első alapmennyiségei:

A felszíne:

Az integrálási határok megállapítása végett ábrázoljuk a gömböt a következő paraméterhatárokkal:

Jól látható, hogy ez a teljes gömbfelület nyolcadrészét jelenti (piros színnel). Integráljunk tovább:

Ha a gömbfelület két szélességi és két hosszúsági köre közötti felület felszínét akarjuk meghatározni, amely a fenti tartományon belül helyezkedik el (az ábrán zöldeskék színnel), akkor a fentiek alapján azt a következőképpen tehetjük meg:

2.

Határozzuk meg az

paraméteres egyenletrendszerrel adott tórusz felszínét, ahol a>b. A paraméterek szerinti parciális deriváltak:

Az első alapmennyiségek:

Tehát a felszín:

3.

Számítsuk ki a következő egyenes csavarfelület egy menetének a felszínét:

A = 0,4; B = 2; 0 <= u <= B; 0 <= v <= 2*pi:

Az első alapmennyiségek:

Tehát felszín:

Hajtsuk végre a következő helyettesítést:

Mindezt alkalmazva:

4.

Számítsuk ki egy kúp palástjának a felszínét. Először adjuk meg a paraméteres előállítását és explicit egyenletét:

A kúp első alapmennyiségei:

A következő ábrán a kúpot, és az u és v paramétertartományokat láthatjuk:

A palást felszíne:

Mivel ez egy derékszögű nyílású kúp, a magassága és az alapkörének a sugara is egységnyi, az alkotója pedig gyök kettő. Elemi térgeometriai alapon tehát a kúp palástja:

Ahol a k az alapkör kerülete, a pedig a kúp alkotója. Természetesen ugyanazt az eredményt kaptuk, mint az első alapmennyiségek segítségével. Határozzuk meg a felszínt a fentebbi explicit képlet alapján is, tanulságos lesz. A szükséges parciális deriváltak:

Ezek alapján a palást felszíne:

Látható, hogy a helyes eredmény csak a paraméterhatárok megfelelő megválasztásától függ. A fentebbi ábráról leolvasható, hogy a paraméterhatárok:

Ezen határok segítségével a palást területe:

Alkalmazzuk a szokásos helyettesítést:

Folytatva az integrálást:

Azaz a fentebbi eredményt újra megkaptuk. A teljesség kedvéért számítsuk ki a forgásfelületekre vonatkozó képlettel is a palást területét:

Természetesen újra ugyanaz az eredmény, ráadásul ez a legrövidebb számolással adódott.

5.

Számítsuk ki a hiperbolikus paraboloid egy darabjának a felszínét. A felület paraméteres egyenletrendszere és explicit egyenlete igen egyszerű:

Az első alapmennyiségek:

A felszín:

A könnyebb integrálhatóság reményében próbálkozzunk az explicit alak segítségével:

A remény csak remény maradt, ugyanazt kell integrálni. A helyettesítéses integrálást így nem ússzuk meg, de a határok kijelölésével még várjunk:

A felülethatárok legyenek:

Ekkor:

Mindez egy rajzon:

6.

Most határozzuk meg egy forgásparaboloid felszínét a forgásfelületekre vonatkozó felszínszámítási képlet segítségével a 0 <=x <= 1 intervallumra.

Mindezt megnézhetjük egy rajzon, a kiszámított felület zöldeskék színű:

Következő lap: http://gorbem.hu/MT/DiffGeom14.htm