Differenciálgeometria (13)

 

 

Példák felszínszámításra

 

Emlékeztetőül nézzük az alkalmazható képleteket. Ha a felület  egyenletrendszerrel adott:

 

Vagy:

 

 

 

Ha a Gauss-féle írásmódot használjuk:

 

 

Ha felületet a z = f(x, y) explicit alakban adják meg:

 

 

Ha a felületet a  implicit alakban adjuk meg:

 

 

Ha egy forgásfelület az y = f(x) () görbének az x tengely körüli megforgatásából keletkezik, akkor ez a forgásfelület y2 + z2 = f2(x) alakban írható fel. Ekkor a felszín:

 

 

1.

 

Számítsuk ki a gömb felszínét. Paraméteres előállítása:

 

 

Első alapmennyiségei:

 

 

A felszíne:

 

 

Az integrálási határok megállapítása végett ábrázoljuk a gömböt a következő paraméterhatárokkal:

 

 

 

Jól látható, hogy ez a teljes gömbfelület nyolcadrészét jelenti (piros színnel). Integráljunk tovább:

 

 

Ha a gömbfelület két szélességi és két hosszúsági köre közötti felület felszínét akarjuk meghatározni, amely a fenti tartományon belül helyezkedik el (az ábrán zöldeskék színnel), akkor a fentiek alapján azt a következőképpen tehetjük meg:

 

 

2.

 

Határozzuk  meg az

 

 

paraméteres egyenletrendszerrel adott tórusz felszínét, ahol a>b. A paraméterek szerinti parciális deriváltak:

 

 

Az első alapmennyiségek:

 

 

 

Tehát a felszín:

 

 

3.

 

Számítsuk ki a következő egyenes csavarfelület egy menetének a felszínét:

 

 

A = 0,4; B = 2; 0 <= u <= B; 0 <= v <= 2*pi:

 

 

Az első alapmennyiségek:

 

 

Tehát felszín:

 

 

Hajtsuk végre a következő helyettesítést:

 

 

Mindezt alkalmazva:

 

 

4.

 

Számítsuk ki egy kúp palástjának a felszínét. Először adjuk meg a paraméteres előállítását és explicit egyenletét:

 

 

A kúp első alapmennyiségei:

 

 

A következő ábrán a kúpot, és az u és v paramétertartományokat láthatjuk:

 

 

 

A palást felszíne:

 

 

Mivel ez egy derékszögű nyílású kúp, a magassága és az alapkörének a sugara is egységnyi, az alkotója pedig gyök kettő. Elemi térgeometriai alapon tehát a kúp palástja:

 

 

Ahol a k az alapkör kerülete, a pedig a kúp alkotója. Természetesen ugyanazt az eredményt kaptuk, mint az első alapmennyiségek segítségével. Határozzuk meg a felszínt a fentebbi explicit képlet alapján is, tanulságos lesz. A szükséges parciális deriváltak:

 

 

Ezek alapján a palást felszíne:

 

 

Látható, hogy a helyes eredmény csak a paraméterhatárok megfelelő megválasztásától függ. A fentebbi ábráról leolvasható, hogy a paraméterhatárok:

 

 

Ezen határok segítségével a palást területe:

 

 

Alkalmazzuk a szokásos helyettesítést:

 

 

Folytatva az integrálást:

 

 

Azaz a fentebbi eredményt újra megkaptuk. A teljesség kedvéért számítsuk ki a forgásfelületekre vonatkozó képlettel is a palást területét:

 

 

Természetesen újra ugyanaz az eredmény, ráadásul ez a legrövidebb számolással adódott.

 

5.

 

Számítsuk ki a hiperbolikus paraboloid egy darabjának a felszínét. A felület paraméteres egyenletrendszere és explicit egyenlete igen egyszerű:

 

 

Az első alapmennyiségek:

 

 

A felszín:

 

 

A könnyebb integrálhatóság reményében próbálkozzunk az explicit alak segítségével:

 

 

A remény csak remény maradt, ugyanazt kell integrálni. A helyettesítéses integrálást így nem ússzuk meg, de a határok kijelölésével még várjunk:

 

 

A felülethatárok legyenek:

 

 

Ekkor:

 

 

Mindez egy rajzon:

 

 

6.

 

Most határozzuk meg egy forgásparaboloid felszínét a forgásfelületekre vonatkozó felszínszámítási képlet segítségével a 0 <=x <= 1 intervallumra.

 

 

Mindezt megnézhetjük egy rajzon, a kiszámított felület zöldeskék színű:

 

 

Következő lap: http://gorbem.hu/MT/DiffGeom14.htm