A számelmélet

A számelmélet

néhány alapfogalma.

Természetes számok. A 0,1,2,3,4, … számokat természetes számoknak nevezzük. Halmazelméleti megközelítésben azt is mondhatjuk, hogy a véges halmazok számosságát természetes számnak nevezzük. Vagy azt is mondhatnánk, hogy miközben számolunk, a természetes számokat soroljuk fel.

Megjegyezzük, hogy egyik előző kijelentés sem lehet a természetes számok definíciója. Ahhoz ugyanis, magánál a természetes szám fogalmánál egyszerűbb dolgokkal kellene a számokat leírni, de lássuk be, ez lehetetlen. A természetes számok az aritmetika olyan alapfogalma, mint a halmazelméletben a halmaz, vagy az informatikában az információ. Vagy eddigi tapasztalataink, vagy a jövőbeni használatuk által válik számunkra ismertté. Ezért a természetes számoknak nincs definíciója, nem definiáljuk őket.

A számolás az ember olyan alapvető igénye, mely az őskorra nyúlik vissza. Már akkor mennyiségi különbséget tett az ember az őt körülvevő dolgok között. Először az egy, majd a kettő található meg minden nyelv ősnyelvtanában. Megjegyezném, hogy van olyan nyelv, amelyben a három egyszerűen a „sok” egyik jelentése. Az is érdekes tény, hogy a „0” mint szám, csak a középkorban nyerte el méltó helyét a számok között, előtte nem létezett, helyette „semmi”-t használták – minden valószínűséggel. És még egy érdekesség, mely mutatja, hogy a tudomány is fejlődik. A jelen sorok írójának még az egyetemen is úgy kellett tanulnia, hogy a természetes számok, az 1,2,3,4, … számok. Majd, mármint középiskolai tanár, kellett ezen a fogalmon módosítania, újra megtanulnia, és lett a „0” a legkisebb természetes szám, mivel a matematika tudományának meghatározó művelői a világban, így döntöttek.

Megjegyzem, hogy a következő, a természetes számok leírására alkalmas axióma rendszerben nem „0” az első természetes szám. Ez az axiómarendszer emiatt természetesen nem értelmetlen, egyszerűen a történelmi hűség kedvéért nem módosítottam rajta.

Peano-axiómák. A természetes számokra a következő tulajdonságok érvényesek:

Az „1” természetes szám. (A természetes számok halmaza nem lehet üres.)
Bármely n természetes számnak van rákövetője, mely ismét természetes számnak nevezünk, és amelyet n’-vel jelölünk. (Értelmezzük n’-et, n+1 -ként, ami nem más, mint a számolás axiómája.)
Az „1” egyetlen természetes számnak sem rákövetője. (A természetes számok közül az „1” az első, a legkisebb.)
Ha n’ = m’, akkor n = m. (Azaz különböző számoknak nem lehetnek azonos rákövetői, azaz a számolási folyamat egyértelmű.)
Ha a természetes számok halmaza tartalmazza az „1”-et és tartalmazza n’-t, ha n-et is tartalmazta, akkor az a halmaz az összes természetes számot tartalmazza.

Megjegyzések:

Még egyszer megemlíteném, hogy a Peano-axiómák a mai természetes számfogalomra, az „1”-nek „0”-val való helyettesítésével érvényesek.

A 4. tulajdonság azt biztosítja, hogy csak egyetlen olyan halmaz van, amely csak is és kizárólag a természetes számokat tartalmazza.

Az 5. tulajdonság azt jelenti, hogy „1”-ből („0”-ból) kiindulva, számolással, bármely természetes számhoz eljuthatunk.

Az 5. axiómát szokás a teljes indukció axiómájának is nevezni, mert a következő pontban leírt, teljes indukciós bizonyítási eljárás létjogosultságát biztosítja.

Teljes indukció. A teljes indukció a természetes számokra (vagy annak valamely, általában végtelen részhalmazára) vonatkozó állítások igazolására alkalmas. Hatékonysága abban rejlik, hogy végtelen sok állítást tudunk, véges sok lépésben igazolni. Ha egy állítás minden természetes számra igaz, és ezt be kellene bizonyítani, akkor bizony a teljes indukció elfogadása vagy alkalmazása nélkül, a bizonyítást nem tudnánk végrehajtani (mivel végtelen sok lépésben kellene azt megtennünk, ami lehetetlen).

A teljes indukciós bizonyítás a következő lépésekből áll:

1. lépés: Bebizonyítjuk (belátjuk, megmutatjuk) az állítást „1”-re („0”-ra), vagy arra a legkisebb természetes számra, amelyre az állítás igaz, vagy egyáltalán értelme (értelmezve) van.

2. lépés: Indukciós feltevés: tegyük fel, hogy az állítás igaz „n”-re.

3. lépés: Az indukciós lépés: annak felhasználásával, hogy az állítás igaz volt „n”-re (néha esetleg még az „n”-nél kisebb természetes számokra való érvényességet is felhasználjuk), bebizonyítjuk, hogy az állítás igaz „n+1”-re is.

A teljes indukciós bizonyítás erejét az 5. Peano-axióma biztosítja, mert ha sikerül a fenti lépéseket végrehajtani, akkor az axióma miatt, biztosak lehetünk benne, hogy bármely (egyébként megengedett) természetes számra, az állítás igaz, érvényes. A teljes indukció csak lehetőség, és nem azt jelenti, hogy bármely tételt, vagy sejtést, amely a természetes számok halmazára igaz, vagy igaznak vélt, be is lehet vele bizonyítani. Mert ott van benne a harmadik lépés, amely adott esetben könnyű, más esetben viszont megoldhatatlannak bizonyul (Lásd: az ikerprímek számának problémája.)

A szakirodalmak számos teljes indukciós bizonyítást tartalmaznak. Érdeklődőknek néhány tipikus feladatot megemlítenék:

1. Bizonyítsuk be, hogy az első n darab páratlan szám összege éppen n².

2. Bizonyítsuk be, hogy az első n darab szám összege n*(n+1)/2.

3. Bizonyítsuk be, hogy ha a síkra csak köröket rajzolunk, akkor bárhogyan is osztják fel a körök a síkot, a keletkezett tartományok két színnel mindig kiszínezhetők. (Két olyan tartomány, melynek van közös határa, nem lehet ugyanolyan színű!)

Műveletek. A számok arra valók, hogy számoljunk, műveleteket végezzünk velük. A négy alapművelet közül az összeadás és a szorzás a természetes számok között korlátlanul elvégezhető (szokás ezeket direkt műveleteknek is nevezni, a kivonás az összeadásnak, az osztás pedig, a szorzásnak az inverz művelete, amelyeket indirekt műveleteknek is neveznek.) Az összeadás közben összeadandókon végzünk összeadási műveleteket, melyeket tagoknak nevezünk. A kijelölt összeadási műveleteket összegnek hívjuk. (Az összeg értékének meghatározása, maga az összeadási művelet.) Szorzás közben a szorzandókon hajtunk végre szorzási műveleteket, melyeket tényezőknek nevezünk. A kijelölt szorzási műveleteket szorzatnak nevezzük. (A szorzat értékének meghatározása maga a szorzási művelet.) Ily módon a művelet és az eredménye között különbséget fogunk tenni.

A két inverz művelet korlátlanul nem végezhető el a természetes számok körében. Kivonásnál a kisebbítendőnek nagyobbnak kell lenni a kivonandónál, osztásnál az osztandónak az osztó többszörösének kell lennie. Mindkettő komoly korlátozást jelent, azt mondjuk, hogy a természetes számok halmaza az összeadásra és szorzásra nézve zárt, de a különbségre és az osztásra nézve már nem az, mert az eredmény kivezet a természetes számok köréből.

Azonosságok. A számokkal végzett műveletekre többféle azonosság érvényes. Ezek általában a műveletek végrehajtási sorrendjére, csoportosíthatóságra, zárójelek használatára vonatkoznak. Az alapazonosságok:

1. Az összeadás kommutatív: a + b = b + a (a tagok sorrendje felcserélhető).

2. Az összeadás asszociatív: (a + b) + c = a + (b +c) (csoportosíthatóság).

3. A szorzás kommutatív: a * b = b * a (a tényezők sorrendje felcserélhető).

4. A szorzás asszociatív: (a * b) * c = a * (b *c) (csoportosíthatóság).

5. A szorzás az összeadásra nézve disztributív: a*(b + c) = a*c + a*c (zárójelfelbontás).

Szokás a szorzást az összeadásra visszavezetni. Ezt két lépésben tehetjük meg, ami gyakorlatilag egy teljes indukciós definíció:

Az 1-el való szorzás a szám (m) értékét nem változtatja meg: 1*m = m.
Ha már tudjuk, hogy n-nel való szorzás eredménye, azaz n*m mennyi, akkor n’-vel való szorzás legyen: n’*m= n*m + m.

Másképpen fogalmazva: Az m-nek n-nel való szorzás egyenértékű egy olyan n-tagú összeggel, melynek minden tagja m.

Itt az azonosságoknál célszerű megemlíteni a precedencia szabályt. Egy olyan kifejezés értékét, melyben többfajta művelet is szerepel, a következőképpen kell a kiszámítani: a magasabb rendű műveletektől kell az alacsonyabb felé haladni, és be kell tartani, a balról jobbra szabályt. Az alapműveletekkel leírható műveletek a négy alapművelet és a hatványozás (egész kitevő esetén az ismételt szorzás). A precedencia csökkenő sorrend szerint: hatványozás, szorzás-osztás, összeadás-kivonás. A precedenciát a zárójelek befolyásolják: először mindig a zárójelben található kifejezés értékét kell meghatározni. Nem szabad elfelejtkezni arról, hogy a törtvonal zárójelet helyettesít. Többszörösen egymásba ágyazott zárójelezéskor a legbelső zárójeltől kifelé haladva kell a kiértékelést végrehajtani. A számítástechnikában külön érdekes kérdés lehet, hogy egy kifejezés megfelelőképpen van-e zárójelezve. A programfordító szoftverek ezek kiértékelésére fel vannak készítve, de magunk is megpróbálhatunk olyan programot írni, mely eldönti, hogy helyes-e egy zárójelezés vagy nem.

Permanencia elv. A permanencia elv azt mondja ki, hogy ha egy műveletet már definiáltunk egy számkörben, akkor az új (általában bővebb) számkörre való definiálását úgy kell végrehajtani, hogy a szűkebb számkörben érvényes azonosságok a bővebb számkörben is érvényben maradjanak.

A számkör bővítésére mindig akkor kerül sor, akkor van rá szükség, ha valamely műveletet egy adott számkörben nem lehet korlátlanul elvégezni. A természetes számkörben a két inverz művelet, a kivonás és az osztás nem végezhető el korlátlanul. A kivonás elvégezhetősége végett az egész számok, míg az osztás elvégezhetősége miatt a racionális számok bevezetése indokolt. Tehát a permanencia elvet a számkör-bővítéskor alkalmazzuk.

Itt jegyezzük még meg azt, hogy van még egy művelet, amely a természetes számkörben korlátlanul elvégezhető. Ez pedig, az ismételt szorzás, melyet pozitív egész kitevőjű hatványozásnak is hívunk. Ha „a” természetes szám, akkor aⁿ (ahol „a” az alap, „n” pedig a kitevő) alatt egy olyan „n” tényezős szorzatot értünk, amelynek minden tényezője „a”, azaz aⁿ = a*a*…*a, (ahol a tényezők száma n). Ha n = 1 akkor a¹ =a. Egyéb kitevőre a hatványozást majd később értelmezzük. Akkor térünk ki, a hatványozásra érvényes további azonosságokra is.

Egész számok. Természetesen mindenki ismeri a negatív egész számokat, hiszen ezek a -1,-2,-3, … számok. Ezek és a természetes számok együtt alkotják az egész számokat. Most inkább arra hívnánk fel a figyelmet, hogyan juthatunk a számkör-bővítési kényszerből új számok szükségességéhez, új számok bevezetéséhez. Lényegében az a = b + x alakú egyenletek megoldásának, minden szóba jövő esetére kell megoldást adnunk. Nyilvánvaló, hogy a rendezés után kapott x = a – b egyenlet jobb oldala csak akkor végezhető el a természetes számkörben, ha b nem nagyobb a-nál. Ha egyenlő, akkor 0-t, az úgynevezett additív egységet kapjuk, azaz ha egy számból önmagát kivonjuk, akkor ezt, a 0-t kapjuk eredményül. Ez épp, a mai fogalmaink szerint a legkisebb természetes szám. Az újabb számokat bővítéssel szeretnénk kapni, ezért a következő feltételekkel élünk:

1. A természetes számok közöttük legyenek.

2. A bővebb számkörben a kivonás korlátlanul elvégezhető legyen.

3. Az új számkörben értelmezett műveletek olyanok legyenek, hogy azokat a természetes számkörben végrehajtva ugyanazt eredményezze, mintha csak természetes számokra gondolva hajtottuk volna végre.

4. Ne csak az eredmények legyenek a 3. pont szerinti függetlenek, hanem a természetes számkörben megismert alap-azonosságok változatlan formában, az egész számkörben is érvényben maradjanak (ez a Permanencia elv).

5. Az egész számkörben a 0-t additív egységnek nevezzük. Ha „a” egy egész szám, akkor a „0–a”, azaz a „–a” az additív inverze, negatívja. Egy számnak és additív inverzének az összege az additív egység, azaz 0.

Megtehetjük ezek után, hogy úgy gondolunk az egész számokra, mint (a-b)-vel jelölt szám-párokra, ahol „a” és „b” természetes számok. Megjegyezzük, hogy így minden egész számnak, végtelen sok alakja létezik, hiszen egy z = (a-b) = (c-d) összefüggést végtelen sok számnégyes kielégít, rögzített „z” esetén is. Minden lehetséges esetre leírhatnánk, hogy mit értünk két szám összegén, különbségén, szorzatán, és hogyan érvényesülnek a természetes számkörben megismert alapazonosságok (kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás). Ezek elemzésétől, felsorolásától ezen a helyen eltekintünk, a megfelelő szakirodalmakban ezek megtalálhatók. Mintaképpen egy műveletet megmutatnánk, mégpedig a szorzást: Legyen az egyik szám (a-b) a másik (c-d). Ezen két egész szám szorzata alatt (használva az azonosságokat) az (ac+bd) – (ad+bc) egész számot értjük (Nyilván mindkét zárójelben természetes szám található).

Szokás definiálni egy egész szám abszolút értékét. Egy nem negatív egész szám abszolút értéke önmaga, negatív számnak az abszolút értéke pedig, a szám (-1)-szerese, azaz egy pozitív szám (melyet formailag úgy kaphatunk, hogy az előjeltől eltekintünk). Az abszolút érték jele: /a/. Ha az egész számokat számegyenesen ábrázoljuk (szokásos jelölésnél minden szomszédos egész között egységnyi a távolság), akkor az abszolút érték nem más, mint a számegyenesen található 0-tól mért távolsága a számnak, a számegyenes egységeiben mérve. (Ez utóbbi már nem más, mint valós számokra is érvényes definíció.)

Maradékos osztás. Bármely „a” és „b” természetes számhoz létezik olyan „p” és „q”-val jelölt ugyancsak természetes számok, melyre igaz a következő: b = p*a+q, ahol 0<=q<a. Ekkor azt mondhatjuk, hogy „a” az „b”-ben megvan p-szer és a maradék q. A p a maradékos osztás hányadosa, melyet a programnyelvek gyakran a Div kulcsszó segítségével írnak le. A q a maradékos osztás maradéka, melyet a programnyelvek gyakran a Mod kulcsszó segítségével írnak le. Ha a Mod hiányzik a nyelvből, akkor Int függvény segítségével előállítható. Ha a Div hiányzik, akkor az osztást Round vagy Trunc függvény argumentumának kell átadni, és visszakapjuk az egész osztás hányadosát.

Oszthatóság. Ha a maradékos osztásnál a maradék q=0, akkor azt mondjuk, hogy „a” a „b”-nek osztója, vagy hogy „b” az „a”-nak többese. Ezt így jelöljük: a│b. Vegyük észre, hogy maradékos osztásnál és az oszthatóságnál, bármely természetes számról szóltunk, tehát a 0-t nem zártuk ki. Ez nem azt jelenti, hogy 0-val osztani lehetne! De jelenti azt, hogy a 0 bármely szám többese, mert létezik a 0=p*a+q egyenletet igazzá tevő számok bármely „a”-ra, csak azok: p=q=0, de ezt a definíció nem tiltja. Fordítva: b=p*0+q esetén nyilván minden érték 0, ami szintén nem azt jelenti, hogy 0-t 0-val sikerült elosztani, hanem azt, hogy 0-t szorzással csak 0-ból kaphatunk.

Prímszámok és számosságuk. Megvizsgálhatjuk, hogy egy természetes számnak hány osztója lehet. Itt van mindjárt a 0. Ennek, mint azt az előbb láttuk, végtelen sok osztója van. A következő a sorban az 1. Hát ennek pontosan 1 darab osztója van. A két véglet itt foglal helyet a sorban, szépen egymás mellett. A 2-nek, a 3-nak két osztója van, (az 1 és önmaguk), míg a 4-nek már három: 1,2,4. Azokat a természetes számokat, amelyeknek pontosan 2 osztója van prímszámoknak, vagy másképpen törzsszámoknak nevezzük. Azokat, amelyeknek kettőnél több osztója van, összetett számoknak nevezzük. Így a 0 összetett szám, hiszen végtelen sok osztója van, az 1 viszont sem nem prím, sem nem összetett szám (önmaga egy külön csoportot alkot, oszthatóság szempontjából). Az első néhány prímszám: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …

Érdekes kérdés lehet, hogy hogyan helyezkednek el a prímszámok a természetes számok között, mekkora hézagokat találunk, azaz lehet-e nagyon sok összetett szám egymás után. Bebizonyítható, hogy tetszőleges N pozitív egész számhoz létezik N egymást követő pozitív egész szám, amelynek egyike sem prím. Bizonyításként előállítjuk ezeket a számokat. Jelölje „p” az N-nél nagyobb, legkisebb prímszámot. Képezzük a következő számokat:

2*3*5*7*… *p+2

2*3*5*7*… *p+3

2*3*5*7*… *p+4

2*3*5*7*… *p+N

2*3*5*7*… *p+(N+1).

A felírt számok nyílván N darab egymást követő egész számok, ahol 2,3,5,7, … p a prímszámokat jelenti 2-től p-ig. Mivel a számok szorzat részében, a hozzáadott rész legkisebb prímosztója szerepel (ezáltal kiemelhető), így mindegyik szám összetett szám. Ezzel a tételt bebizonyítottuk.

Szintén könnyen bizonyítható a következő állítás: a prímszámok száma végtelen. Ezt indirekt módon bizonyíthatjuk be. (Az indirekt bizonyítás lényege: feltételezzük az eredeti állítással ellentétes állítás igaz voltát, majd különböző logikai lépések után nyilvánvaló ellentmondásra jutunk, mely az eredeti tagadásának lehetetlenségét igazolja, a harmadik kizárt logikai elv alapján.) Tehát állításunkkal ellentétben tegyük fel, hogy csak véges sok (n darab) prímszám létezik. Legyenek ezek p₁, p₂, p₃. …, p_n. Ezeknek a számoknak a szorzatához adjunk hozzá egyet, és vizsgáljuk meg, hogy milyen számot kapunk. Megállapíthatjuk, hogy ha bármely általunk felsorolt prímszámmal osztjuk ezt a számot, mindig 1-et kapunk maradékul, azaz egyetlen prímszámmal sem osztható. Ebből két dolog következhet: vagy az, hogy egy prímszámot állítottunk elő, hiszen pontosan két osztója van, (1 és önmaga), ekkor viszont nem soroltuk fel az előbb az összes prímszámot. A másik lehetőség az, hogy az előállított szám összetett szám, azaz legalább három osztója van, akkor viszont kell még legalább egy prímszámnak lenni, ami az előző véges felsorolásból kimaradt, és olyan, ami osztja az előállított összetett számot. Mivel minden lehetőséget megvizsgáltunk, nyilvánvaló, hogy semmi módon nem sorolhattuk fel az összes prímszámot, ellentmondásra jutottunk, azaz a prímszámok száma végtelen.

Oszthatósági szabályok. Függvénytáblázatokban gyakran bizonyos értékig felsorolják a prímszámokat, vagy a 2,3 és 5-el nem osztható számok prímtényezős felbontását, amelyből egyrészt a prímszámok, másrészt a nem könnyen felfedezhető prímtényezős felbontás kiolvasható. Néhány egyszerű szabályt említenénk meg, mely tetszőleges számról elárulja, hogy osztható-e egy adott számmal. Egyetlen páros prímszámunk van a 2. A kettővel való oszthatóság feltétele, az hogy az utolsó számjegye páros legyen, azaz osztható legyen kettővel. Ugyanez a szabály érvényes az 5-tel való oszthatóságra is (mármint az, hogy az utolsó számjegye osztható legyen 5-tel, mely ugye csak 0 és 5 esetén teljesül), hiszen a tízes számrendszer alapszámát mindkettő (a 2 és az 5 is) osztja. A hárommal való oszthatóság feltétele: a számjegyek összege osztható legyen 3-al. Ez annak a következménye, hogy a 10-es számrendszer alapjának 3-as maradéka 1. Ugyanez érvényes 9-re is. Ha egy szám osztható két egymáshoz képest relatív prímszámmal, akkor osztható azok szorzatával is. Így például a páros, 9-el osztható számok 18-al is oszthatók. A 11-el való oszthatóság: osszuk fel kétjegyű számokra a vizsgálandó számot az egyes helyi-értéktől kezdődően. Vegyük a keletkezett minden kétjegyű (és az esetleg legelöl keletkezett egyjegyű) szám 11-es maradékát, adjuk össze, ha 11-el osztható számot kapunk, akkor az eredeti szám is osztható volt 11-el, ha nem, akkor nem osztható. Egy másik szabály a 11-el való oszthatóságra: a vizsgálandó szám számjegyeit váltakozó előjellel adjuk össze, ha 11-el osztható összeget kapunk, akkor az eredeti is osztható volt 11-el (ha az összevonás eredménye negatív, oszthatóság szempontjából ugyanúgy járunk el, mintha pozitív volna). A számrendszer alapjával és annak hatványaival való oszthatósági feltételre, illetve a 25 vagy 50-nel való oszthatóságra egyszerűsége miatt nem térünk ki.

Az aritmetika alaptétele. Az aritmetika alaptétele azt mondja ki, hogy bármely 1-nél nagyobb természetes szám vagy prímszám, vagy egyértelműen bontható fel (a tényezők sorrendjétől eltekintve) prímszámok szorzatára.

Legnagyobb közös osztó. Két szám legnagyobb közös osztója alatt azt a számot értjük, mely mindkét számot osztja, és amely minden közös osztónak többese (természetes számok között – mivel rendezett halmazról van szó – egyúttal a legnagyobb). Meghatározása a prímtényezős felbontás segítségével: mindkét számot bontsuk fel prímtényezőkre, válasszuk ki a közösen szereplő prímtényezőket a közösen szereplő legnagyobb multiplicitással (ismétlődéssel, kitevővel), és szorozzuk őket össze. Ekkor a legnagyobb közös osztót kapjuk. (Informatikában alkalmazása kissé nehézkes, meghatározáshoz az Euklideszi algoritmus alkalmazása ajánlott.) A legnagyobb közös osztót gyakran így jelölik: (a,b). Több szám legnagyobb közös osztójának definíciója és a prímtényezős felbontásból való meghatározása ugyanaz, mint két szám esetén.

Legkisebb közös többszörös. Két szám legkisebb közös többszöröse alatt azt a számot értjük, mely mindkét számnak többszöröse, és amely minden közös többszörösnek osztója (természetes számok között – mivel rendezett halmazról van szó – egyúttal a legkisebb). Meghatározása a prímtényezős felbontás segítségével: mindkét számot bontsuk fel prímtényezőkre, válasszuk ki az egyáltalán szereplő prímtényezőket a legnagyobb multiplicitással és szorozzuk őket össze. Ekkor a legkisebb közös többszöröst kapjuk. A legkisebb közös többszöröst gyakran így jelölik: [a,b]. (A törzstényezős felbontáson alapuló alkalmazása az informatikában kissé nehézkes, meghatározáshoz az Euklideszi algoritmus, és a következő összefüggés ajánlott: a*b = (a,b)*[a,b], azaz a két szám szorzat egyenlő a legnagyobb közös osztó és a legkisebb közös többszörös szorzatával. Ez utóbbi összefüggés a törzstényezős felbontáson alapuló meghatározásokból szinte triviálisan következik.) Több szám legkisebb közös többszörösének definíciója és a prímtényezős felbontásból való meghatározása ugyanaz, mint két szám esetén.

Euklideszi algoritmus. Euklidesztől maradt ránk, két szám legnagyobb közös osztójának meghatározása, a prímszámfogalom felhasználásának kikerülésével. Éppen ez teszi könnyen algoritmizálhatóvá, sőt ha még azt is megemlítjük, hogy az eljárásban szereplő osztás ismételt kivonással helyettesíthető, akkor könnyen gépi kódú algoritmust is készíthetünk a módszerre. Az algoritmus a maradékos osztáson alapul.

lépés: Osszuk el maradékosan az egyik számot a másikkal.
lépés: Az osztandó szerepét vegye át az előbbi osztó, az osztó szerepét pedig, az előbbi maradék, ha az nem 0. Mindaddig ismételjük a műveletet (térjünk vissza az 1. lépéshez), amíg 0 maradékot nem kapunk.
lépés: Az utolsó nem 0 maradék lesz a két szám legnagyobb közös osztója.

Az algoritmus helyes volta könnyedén igazolható, melytől itt eltekintünk. Azt viszont megemlíteném, hogy az általános algoritmus fogalmára az Euklideszi algoritmus nagyon szép példa. Könnyen megmutathatók rajta az algoritmussal kapcsolatban általánosan megfogalmazott igényeink: minden lépésben egyértelmű, minden lehetséges esetre megoldással szolgál, véges sok lépésben véget ér (hiszen a pozitív maradékok csökkenő sorozata véges), és számtalan (nagyon sok), csak kezdeti feltételekben különböző (ezáltal nagyon hasonló) feladat megoldására alkalmas.

Relatív prímszámok. Két szám relatív prím, ha a legnagyobb közös osztójuk 1. Ekkor a legkisebb közös többszörösük, a szorzatuk. Több szám is lehet relatív prím, ha legnagyobb közös osztójuk 1. Ebben az esetben még előfordulhat, hogy néhány szám-pár nem relatív prím az összesből. Például: 3,5,15 relatív prímek, de közülük két pár is kiválasztható, amelyek nem relatív prímek. Több számra vonatkoztatva a relatív prím fogalomnál van egy szigorúbb is: a páronként relatív prím fogalma. Ekkor a számhalmaz bármely két szám-párja relatív prím.

Ikerprímek. Ha két prímszám különbsége 2, akkor ikerprímeknek nevezzük őket. A prímszámok elején rögtön egy hármas ikerprímet találunk: 3, 5 és a 7. Könnyen belátható, hogy további hármas ikerprím nem létezhet, mert olyan számtani sorozat három egymást követő tagjai lennének, amelyek közül az egyik biztosan osztható lenne 3-al, azaz nem lehetne az egyik prímszám. További ikerprímek: (11,13); (17,19); (29,31); (41,43); (59,61); (71,73); (101,103); … Az ikerprímek számosságával kapcsolatban semmi biztosat nem tudunk mondani. Találtak már igen nagy ikerprímeket is, de nem ismert, hogy számuk véges-e vagy végtelen.

Az osztók száma. Egy pozitív természetes szám osztóinak számát prímtényezős felbontásából a legkönnyebb meghatározni. Szerepeljenek az N szám prímtényezős felbontásában a p₁, p₂, p₃, … p_k prímszámok az n₁, n₂, n₃, …n_k kitevőkkel (megengedett a 0 is). Ekkor a N szám osztóinak számát az (n₁+1)*(n₂+1)*(n₃+1)* … *(n_k+1) szorzat adja. Indoklásnak csak annyit, hogy itt a prímtényezők ismétléses variációinak számát számoltuk össze, megengedve azt is, hogy egy prímszámot egyetlen egyszer sem, vagy az előforduló maximális kitevővel is figyelembe vegyük, az osztók előállításakor. Példaként megemlítjük, hogy ha egy számról azt tudjuk, hogy pontosan három osztója van, akkor az egy prímszám négyzete.

Egy számnak (ha nem 1), akkor legalább két osztója van: az 1 és önmaga. Ezeket az osztókat szokás nem valódi osztóknak nevezni, minden más osztóját (ha létezik), valódi osztónak hívjuk. Ezek szerint a prímszámoknak nincs, az összetett számoknak van valódi osztója. Szokás az osztók felsorolásánál osztó-párokat feltüntetni, amelyek szorzata maga a szám. Minden összetett számnak van a szám négyzetgyökénél nem nagyobb prímosztója. (Az osztó-pároknál az egyik kisebb-egyenlő, mint a szám négyzetgyöke, a másik pedig, nagyobb-egyenlő. Ha egyenlők, akkor a szám négyzetszám volt.) Prímosztók keresésénél tehát csak a szám négyzetgyökéig kell a keresést végrehajtani. Ha addig nem volt prímosztó, akkor már nem is lesz, azaz a kérdéses szám prímszám (Eratosztenész szitája).

Kongruenciák. Legyen m egy pozitív egész szám, melyet modulusnak (vagy a modulus alapjának) fogunk nevezni. Ha az egész számokat osztjuk m-mel, akkor a következő maradékok egyikét kaphatjuk:

0, 1, 2, … , m-1.

Ha „a” és „b” két egész szám, akkor előfordulhat, hogy m-mel osztva ugyanazt a maradékot adják. Ekkor azt fogjuk mondani, hogy a és b kongruensek modulo m, és így jelöljük:

a ≡ b (mod m).

Mivel „a” és „b” csak akkor adnak ugyanolyan maradékot m-mel való osztáskor, ha különbségük osztható m-mel, a kongruenciát így is definiálhatjuk: a ≡ b (mod m), ha m │a-b.

A kongruencia egy ekvivalencia reláció. Ez pontosan azt jelenti, hogy a természetes számokat modulo m-re „m” darab osztályba soroltuk, egy osztályba kerülve az egymással kongruens számok. Hogy a kongruencia ekvivalencia reláció, a következő tulajdonságai bizonyítják:

A kongruencia reflexív: a ≡ a (mod m) bármely a-ra. (Hiszen minden szám a 0-nak osztója.)
A kongruencia szimmetrikus, azaz: ha a ≡ b (mod m), akkor b ≡ a (mod m) is igaz.
A kongruencia tranzitív, azaz: ha a ≡ b (mod m) és b ≡ c (mod m) akkor a ≡ c (mod m) is igaz.

Márpedig azokat a relációkat, amelyekre igaz a fenti három (aláhúzással jelölt) tulajdonság, azt a relációt ekvivalencia relációnak nevezzük. További tulajdonságok, melyek az egyenlőséghez (azonossághoz) nagyon hasonlóvá teszik:

Szabad a kongruencia minkét oldalához ugyanazt az egész számot hozzáadni.
Kongruenciák (ugyanazon modulo mellett) összeadhatók, mint az egyenletek.
A kongruenciák kivonhatók, mint az egyenletek.
A kongruencia egyik oldalához hozzáadható a modulus többszöröse.
A kongruenciák mindkét oldala megszorozható ugyanazzal a számmal.
A kongruenciák összeszorozhatók (szintén ugyanazon modulo mellett).
Szabad a kongruenciák mindkét oldalát ugyanarra a hatványra (pozitív egész!) emelni.
Szabad a kongruenciában a benne lévő számok helyett velük kongruens számokat írni (természetesen ugyanazon modulo mellett).
A kongruencia mindkét oldalát szabad olyan számmal egyszerűsíteni, amely relatív prím a modulushoz.
Kongruens számoknak a modulussal ugyanaz a legnagyobb közös osztójuk, azaz ha a ≡ b (mod m), akkor (a,m) = (b,m).

Ezeket az állításokat nagyon könnyen be lehet látni, ezért bizonyításukkal nem foglalkozunk.

Racionális számok. Mivel az egész számok körében az osztás korlátlanul nem végezhető el, a számkör bővítésére van szükség. Hasonlóképpen járunk el, mint a természetes számoknak az egészekre való bővítésénél. Nyilvánvalóan mindenki ismeri a tört számokat. Ha az osztandó nem többese az osztónak, akkor vagy maradékot tüntetünk fel, vagy a maradékot és az osztót perjellel kötjük össze: a/b, ahol „a” és „b” egész, de b nem lehet 0. Ha az a-ról és b-ről semmit nem tételezünk fel, csak azt, hogy a b ≠ 0, akkor az a/b alakú számokat racionális számoknak nevezzük. A szám elnevezés csak akkor jogos, és csak akkor tekinthető az egész számok bővítésének, ha benne a Permanencia elvet teljesítő műveleteket értelmezünk. Ezt most néhány mondattal alátámasztjuk. Az a/b alakú számok úgy tartalmazzák az egész számokat, hogy minden a/b értéke egész, ha „a” a „b”-nek többszöröse. Két racionális szám egyenlő, azaz a/b = c/d (ahol b és d nem 0), ha a*d = b*c. Már ezekből is következik, hogy bármely racionális számnak végtelen sok alakja lehetséges. Az egyszerűség kedvéért a továbbiakban nem írjuk ki a nevező(k) nem 0 voltát. A négy alapműveletet a következőképpen értelmezzük. Két racionális szám összege: a/b + c/d = (a*d + b*c)/(b*d), különbsége: a/b – c/d = (a*d – b*c)/(b*d). Két racionális szám szorzata: a/b * c/d = (a*c)/(b*d), hányadosa (a/b)/(c/d) = (a/b)*(d/c) = (a*d)/(b*c). Megállapíthatjuk, hogy a négy alapművelet nem vezet ki a racionális számok köréből. Adósok vagyunk még egy fogalommal, a multiplikatív inverzével. Bármely nem 0 racionális számhoz létezik egy olyan szám, mellyel megszorozva 1-et, a multiplikatív egységet kapjuk. Ezt a számot a kérdéses szám reciprokának is szokták nevezni. Az additív egység és inverz, multiplikatív egység és inverz létezése, valamint a racionális számkörben is érvényes 5 alapazonosság, a racionális számok halhazát algebrailag testté teszik. A racionális számok halmaza a legszűkebb (nem véges) számtest.

Véges és végtelen tizedes törtek. A racionális számoknak két alakját különböztethetjük meg: közönséges törtek és tizedes törtek. A közönséges törtek gyakorlatilag a racionális számok definíciója, míg a tizedes tört az osztásnak, az egész eredményen túli folytatásával jön létre. Az utolsó még egész osztásból származó maradékot bővítjük 0-val, a hányadosban tizedesvesszőt írunk, és tovább szükség szerint tovább folytatjuk osztást, 0-val való bővítést ismételve. Így kapjuk a tizedes törteket. A tizedes törtek helyi értéke a 10 negatív kitevőjű hatványaival fejezhetők ki (tized, század, ezred…). Kérdés, vajon milyen típusú tizedes törteket kaphatunk. Alapvetően kétfélét, vagy végest, vagy végtelen szakaszos tizedes törtet. Véges tizedes törtet csak akkor kaphatunk, ha az osztónak a 2-n és 5-n kívül más prímosztója nincs, különben végtelen szakaszos tizedes törtet kapunk. Bármekkora ugyanis az osztó, előbb utóbb elfogynak a maradék-lehetőségek, szükségképp ugyanaz a maradék újra sorra kerül, és ettől kezdve a maradékok sorozata ugyanaz lesz, a tizedes tört szakaszokból fog állni, mégpedig végtelen sokból. Egy érdekes trükkel minden racionális szám végtelen szakaszos tizedes törtként (még az egész is!) fogható fel. Tegyük ugyanis a következőt: a véges tizedes tört utolsó értékes jegyét csökkentsük 1-el és egészítsük ki végtelen sok 9-el. Ekkor egy végtelen szakaszos tizedes törtet kapunk, melynek értéke a véges alakjával megegyezik. Nem tudunk ugyanis olyan kis pozitív számot mondani, amit hozzá kellene (lehetne) adni a 9-re végződőhöz, hogy az eredeti számot kapjuk, vagyis csak 0-t adhatunk hozzá. Ha viszont két szám különbsége 0, akkor a két szám egyenlő, azaz csak felírásukban különböznek. Ha a szám egész, akkor az egyesek helyén lévő számból vonunk ki 1-t, tizedesvesszőt írunk, majd végtelen sok kilencest. Az egy például így néz ki: 0,99999999…, a 0 egy kicsit különc (mivel egyetlen értékes számjegye a 0), ő így néz ki végtelen szakaszos tizedes törtként: 0,0000000… . Ezek után a racionális számokat úgy is definiálhatjuk, hogy ők a végtelen szakaszos tizedes törtek.

A racionális számok számossága. Felvetődik a kérdés, vajon mennyi racionális szám létezik. Nyilván végtelen sok, de vajon van-e különbség végtelen és végtelen között? Nevezzük a természetes számok számosságát (már csak az alapvető funkciója, a megszámolás miatt is) megszámlálhatóan végtelen számosságnak. A végtelen számosság sok érdekes, a véges számosságtól eltérő tulajdonságokkal rendelkezik. Például véges sok elem hozzáadása (vagy elvétele) egy megszámlálható halmazhoz(-ból) nem változtat a számosságán, ugyanannyi marad. A végtelen számosságokat ugyanis csak úgy tudjuk összehasonlítani, akkor mondhatjuk két halmazról, hogy ugyanannyi eleme van (és ez így fogalmazva végesre is igaz, tehát jogos a végtelenre való általánosítása), ha elemei között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést tudunk létesíteni.

Ahhoz, hogy két halmaz elemeinek száma ugyanakkora, nem feltétlen kell megmondani, hogy hányan vannak, ettől még könnyedén megállapíthatjuk, ugyanannyian vannak vagy sem. Hogy ez menyire így van, arra egy egyszerű példával szolgálhatok. Egy négyéves kisfiú egy erkélyről lovas-huszárok felvonulását nézi, akinek nagyon tetszik a látvány. Sem eleje, sem vége a regimentnek. Amikor a végét is látja, beszól a szobában lévő édesanyjának. Anya, elvonult a lovas sereg, képzeld ugyanannyi huszár volt, mint ló. Az édesanyja megkérdezi tőle: honnan tudod, hiszen még 5-ig is alig tudsz számolni. Hát azt nem is tudom, hogy hányan voltak, de hogy ugyanannyian, az viszont biztos. Hiszen minden lovon huszár ült, minden huszár, lovon ült, egy lovon sem ült két huszár, és egy huszár sem ült egyszerre két lovon, azaz ugyanannyian voltak. Vagyis a lovak halmaza és a huszárok halmaza között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés van. Valahogy így vagyunk a végtelenekkel is. Nem tudjuk számszerűen megmondani, hogy a két végtelen halmaznak hány eleme van (mint ahogy a kisfiú sem tudta), de hogy ugyanannyi, abban biztosak lehetünk.

Régi talányos kérdés, hogy ha egy megszámlálhatóan végtelen sok szobával rendelkező szállodába (ez persze teoretikus), mely teljesen tele van, 100 újabb vendég érkezik, vajon a fogadós el tudja-e helyezni a jövevényeket? Természetesen igen, minden vendéget átköltöztet a 100-al nagyobb sorszámú szobába, és lám az első száz szoba már üres is, beköltözhetnek a vendégek. De mi van akkor, ha megszámlálhatóan végtelen új vendég érkezik? Semmi pánik, minden vendég átköltözik a kétszer akkora sorszámú szobába és máris megszámlálhatatlanul végtelen sok szoba szabadul fel az újak számára. Mint látható, a végtelen halmaz számossága megegyezhet egy valódi részhalmazának számosságával. Ez utóbbi állítás véges halmazokra természetesen nem érvényes. Visszatérve a racionális számokhoz, végtelen sokan vannak, de vajon többen-e mint a természetes számok. Meglepő (legalábbis annak, aki nem tudja) de nincsenek többen, ugyanannyian vannak, pedig azt gondolnánk első ránézésre, hogy természetesen sokkal többen vannak, de végtelen már csak ilyen, a józanésznek gyakran ellentmond. Az egyik gyakori bizonyítási mód a táblázatba rendezés, majd az átlók menti összeszámlálás.

1/1 2/1 3/1 4/1 5/1 6/1 …

1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2 …

1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3 …

1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 6/4 …

1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5 …

1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6 …

A táblázat 1. sora az 1 nevezőjű, a 2. a 2 nevezőjű, a 3. a 3 nevezőjű törteket tartalmazza, és a sort tovább folytatjuk a végtelenségig (természetesen a sorok is végtelen sok elemet tartalmaznak). A táblázatról megállapítható, hogy minden pozitív racionális számot tartalmaz. Az a/b az a. oszlop b. sorában található, bármi is a racionális szám. Azt is megállapíthatjuk, hogy bármely racionális szám végtelen sokszor szerepel benne, tehát biztosan nem maradt ki egyik sem, sőt még túl is lőttünk a célon. Ha precízek akarunk maradni, akkor a természetes számokkal való megfeleltetéskor mindig nézzük meg, hogy számba vettük-e már a kérdéses számot, mert ha igen, akkor azt hagyjuk ki a hozzárendelésből. A táblázatból kimaradt a 0. Ezért a megfeleltetést kezdjük ezzel, kimaradtak a negatív racionális számok, ezért ha találunk egy új pozitív racionális számot, akkor rögtön tüntessük a negatívját is. A 0 után a főátlóra merőleges átlós irányban fogunk végigmenni a táblázaton:

0, 1, -1, 1/2, -1/2, 2, -2, 3, -3, 1/3, -1/3, 1/4, -1/4, 2/3, -2/3, 3/2, -3/2, 4, -4, 5, -5, 1/5, -1/5, 1/6, -1/6, 2/5, -2/5, 3/4, -3/4, 4/3, -4/3, 5/2, -5/2, 6, -6, …

A sorszámokat nem írtuk ki, ez a megfeleltetés alapja, minden racionális számhoz egyértelműen hozzárendeltünk egy természetes számot, ezért a racionális számok ugyanannyian vannak, mint a természetes számok, vagyis számosságuk: megszámlálhatóan végtelen.

Irracionális számok. Mint azt az előző szakaszból láttuk, a racionális számok a végtelen szakaszos tizedes törtek. De bárki könnyedén definiálhat végtelen nem szakaszos tizedes törtet. Klasszikus példa erre: 0,1011011101111011111… . Képzési szabálya nyilvánvaló, mindig eggyel több 1-est írunk a sorba. Ezáltal egy végtelen nem szakaszos tizedes törtet állítottunk elő. A szakaszos tizedes törteknél elmulasztottuk megemlíteni, hogy bármely szakaszos tizedes tört felírható két szám hányadosaként. A képzési szabály több irodalomban megtalálható, erre én nem térnék ki. Másként is eljuthatunk olyan számokhoz, melyek nem racionálisak. Vajon milyen szám például az x² = 2 egyenlet megoldása. Az egyenlet megoldásához a négyzetgyökvonás műveletével jutunk, és az eredményt a négyzetgyök segítségével fogalmazzuk meg. Egy nem negatív szám négyzetgyökén értjük, azt az ugyancsak nem negatív számot, melynek négyzete a szám. Az egyenlet két gyöke: a mínusz gyök kettő és a plusz gyök kettő. Bebizonyítjuk, hogy a gyök kettő irracionális szám. Tegyük fel, hogy racionális (indirekt bizonyítás), azaz felírható p/q alakban, ahol p és q egész számok, de q nem lehet 0 és p és q relatív prímek:

√2 = p/q.

Emeljük négyzetre mindkét oldalt, és szorozzunk a jobb oldal nevezőjével:

2*q² = p².

Az ellentmondás nyilvánvaló. A baloldalon a 2 páratlan, a jobb oldalon a 2 páros kitevővel szerepel. Mivel a 2 prímszám, ez ellentmond az aritmetika alaptételének, miszerint a prímtényezős felbontás egyértelmű. Ebből az következik, hogy hibás volt a feltevésünk, miszerint a négyzetgyök kettő felírható két egész szám hányadosaként, azaz racionális lenne. A gyök kettő tehát irracionális szám. (A racio: ésszerűt, az irracio: ésszerűtlent jelent, elődeink így nevezték el a számokat. Más felfogásban ez azt jelenti, hogy az irracionális összemérhetetlen az egészekkel, nem választható olyan közös egység, amelynek mindkettő az egész számú többszöröse lenne.)

A végtelen nem szakaszos tizedes törteket irracionális számoknak nevezzük. Vajon mennyien vannak? Megszámlálható-e a számosságuk? Többen vagy kevesebben vannak, mint a racionális számok. A két halmaz idegen (metszetük üres), hiszen lehetetlen, hogy egy szám egyszerre racionális is legyen meg nem is. Az irracionális számok nem megszámlálható (kontinum) számosságú halmazt alkotnak. Tegyük fel ugyanis, hogy valahogy sikerült a végtelen nem szakaszos tizedes törteket sorba rendezni (megszámlálni), csak 0-1 intervallumban:

0,a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄ a₁₅ …

0,a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄ a₂₅ …

0,a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₄ a₃₅ …

ahol a_ij 0-9 közé eső tetszőleges sorrendben előforduló számjegyek. Ha azt állítom, hogy ebben minden végtelen nem szakaszos tizedes tört benne van, akkor képezzem a következő tizedes törtet:

0,b₁ b₂ b₃ b₄ b₅ …

ahol b_i 0-9 közé eső olyan számjegyek, ahol a_ii≠ b_i egyetlen i-re sem. Az így előállított szám nem egyezhet meg egyetlen, a fenti felsorolásban lévő számmal sem, azaz ez kimaradt a sorba-rendezésből, ellentmondásra jutottunk, vagyis a végtelen nem szakaszos tizedes törtek számossága a racionális, vagy ami ugyanaz a természetes számok számosságánál nagyobb, nem megszámlálható (már a 0-1 intervallumban lévő számoké is, akkor az összes irracionális szám nyilván még inkább megszámlálhatatlan). Az irracionális számok tehát sokkal többen vannak, mint a racionális számok.

Valós számok. A racionális és irracionális számokat együtt valós számoknak nevezzük. Az eddigiek alapján úgy is fogalmazhatunk, hogy végtelen tizedes törteket valós számoknak nevezzük (a 9-esekkel végtelenített végesre is gondolva). Szokás a valós számokat számegyenesen ábrázolni. Ha a számkör bővítési sorát követjük, először a természetes számok majd az egészek (egységnyi távolságra) kerülnének a számegyenesre. Aztán a racionális számok, majd az irracionálisak. Ekkorra minden hely elfogyna, azt is mondhatjuk, hogy a valós számok a számegyenes pontjainak a 0-tól mért értékszámai, a számegyenes egységében mérve. Számegyenes minden pontja egy valós számot reprezentál.

A racionális számok és a valós számegyenes. A racionális számok a számegyenesen mindenütt sűrűn helyezkednek el. Ez azt jelenti, hogy bárhogyan is jelölünk ki egy intervallumot a számegyenesen, biztos, hogy tartalmaz belsejében racionális számot. A problémás nyilván a rövid szakaszok esete, hiszen ha elég nagy az intervallum, akkor könnyedén megállapítható, hogy mely racionális szám van benne. Legyen a kérdéses intervallum hossza „a” és legyen ez minél kisebb. Ha viszont képezzük a 10 negatív egész kitevőjű hatványainak sorozatát, majd ilyen sűrűségben helyezzünk pontokat a számegyenesre, akkor elég nagy negatív kitevő esetén az intervallum hossza nagyobb lesz, mint két szomszédos, 10 negatív hatványával kifejezett intervallum, azaz az egyik végpontját a kijelölt szakasz tartalmazza. A 10 negatív kitevőjű hatványai viszont racionális számok. Ezzel beláttuk, hogy bármely pont közelében van racionális szám. (Az, hogy bármely két racionális között is van racionális, az szinte triviális, hiszen például ott van köztük a számtani közepük.)

A hatványozás kiterjesztése. Már megismerkedtünk a pozitív egész kitevőjű hatványozással, melyről azt állítottuk, hogy nem más, mint az ismételt szorzás, ha a kitevő 1, akkor a hatvány maga az alap. Először tekintsük át, hogy milyen azonosságok érvényesek a pozitív egész kitevőjű hatványokra.

aⁿ*a^m = a^n+m, (1)

(aⁿ)^m = a^n*m, (2)

aⁿ*bⁿ = (a*b)ⁿ, (3)

aⁿ/a^m = a^n-m, (4)

(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. (5)

Természetesen a törtes azonosságok esetén a nevező nem lehet 0. A hatványozás kiterjesztésénél úgy járunk el, hogy a most felírt azonosságok érvényben maradjanak (Precedencia elv). A (4)-es azonosság a következő általánosítást indukálja: mi van, ha n = m? Ekkor a baloldal értéke 1-el egyenlő, a jobb oldalon pedig, a⁰ áll (a nem lehet 0). Nyilvánvaló, hogy a⁰ -t értelmesen csak 1-ként definiálhatjuk, azaz ha a≠0, akkor a⁰ =1. Ugyanezen azonosságban, ha n=0 és m≠0, akkor a negatív kitevőjű hatvány definíciójához jutunk, az például a^-5 = 1/a⁵. Azaz negatív kitevőjű hatvány egyenlő, a kitevő abszolút értékével képzett hatvány reciprokával, vagyis negatív kitevő törtet jelent (kissé pongyolán fogalmazva, de természetesen az alap nem lehet 0). Ezzel a hatványozást kiterjesztettük egész kitevőre.

Most vegyük szemügyre egy kicsit jobban a (2) azonosságot. Mi lenne, ha a kitevő racionális szám is lehetne? Írjuk fel a következőképpen (ahol q≠0):

(a^p^/q)^q = a^p^/q*q = a^p.

Vegyük észre, hogy ezt az azonosságot a permanencia elv alapján írtuk fel, és nem jelent mást, mint azt, hogy a^p^/q csak úgy értelmezhető értelmesen, tehát azt a számot jelenti, amelynek q-ik hatványa a^p. De, ha egy szám q-ik hatványát ismerjük, akkor magát a számot gyökvonással is felírhatjuk:

_q__

a^p^/q = √a^p.

Ezzel a hatványozást kiterjesztettük racionális tört kitevőre, melyhez a gyökvonásra volt szükség. Megjegyezzük, hogy az egyszerűség kedvéért az alapot mindig nem-negatívnak tételezzük fel (hiszen negatív számból, páros kitevőjű gyök nem vonható), hogy állításaink, azonosságaink mindig értelmezhetők és igazak legyenek. Mivel minden egész kitevőjű gyökvonás racionális kitevőként fogható fel, a gyökvonás azonosságai az (1)-(5) azonosságokból könnyedén felírhatók, ezért ettől itt eltekintünk.

Megjegyezzük még, hogy ha a hatványozás alapja nagyobb, mint 1, akkor a racionális kivevőkre vonatkozóan érvényes a monotonitás, ami alatt azt értjük, hogy nagyobb kitevő esetén a hatvány értéke is nagyobb. Ez fontos megállapítás, a hatványozás további általánosításához. A továbblépést a kitevő irracionális volta jelenti, azaz mit értsünk például 10-nek a négyzetgyök-kettedik hatványán? Tudjuk, hogy minden irracionális szám egy intervallumskatulyázás magját jelenti, ahol az intervallum végpontjai racionális számok, az intervallumok egymásba ágyazódnak és hosszuk tart a 0-hoz. Egy ilyen intervallumskatulyázás egyértelműen meghatároz egy valós számot (akár a valós szám definiciójaként is felfogható). Visszatérve a 10 a négyzetgyök-kettedik hatványára: közelítsük a gyök-kettőt intervallumskatulyázással, a hozzá tartozó hatványok (mint racionális kitevőjű hatványok) ismét egy intervallumskatulyázást adnak meg, melynek csak egyetlen valós magja van, maga a keresett hatvány. Ilyen módon a hatványozást valós kitevőkre is kiterjesztettük. Az (1)-(5) azonosságok természetesen ezekre a műveletekre is érvényben maradnak.

A logaritmus. Hatványozásnál ismerjük az alapot és a kitevőt, keresendő a hatvány, vagy ismert a kitevő és a hatvány és keresendő az alap. Mindkét művelet a hatványozás általánosításaként fogható fel, mert mint láttuk a hatványozás és a gyökvonás, benne van a racionális (vagy valós) kitevőjű hatványozásban. De mi a helyzet, ha ismert az alap és a hatvány, de nem ismert a kitevő? Akkor milyen művelettel határozható meg, azaz:

2^x = 16

egyenlet megoldásakor milyen művelettel kaphatjuk meg a kitevőt? A példa egyszerű volta miatt könnyen megoldhatjuk egyenletünket, hiszen 2-nek a negyedik hatványa 16, tehát x = 4. De mi lenne tetszőleges alap és hatvány esetén. Ebben az esetben (mint gyakorlatilag az előző egyszerű esetben is) a logaritmus műveletét kell végrehajtanunk. A logaritmusnak van alapja, mely nagyobb mint 0, és nem lehet 1 (hiszen az 1-nek tetszőleges kitevőjű hatványa ismét 1 lenne, nem kaphatnánk hatványozással tetszőleges számot), és csak pozitív számnak vehetjük a logaritmusát (hiszen pozitív alapból hatványozással, csak pozitív szám kapható). Jelölésben egy „b” szám „a” alapú logaritmusát így jelöljük:

log_a b,

és jelenti az a kitevőt, melyre „a”-t, emelve „b”-t kapunk:

log_a b,

a = b.

A logaritmusok alapjai közül van egy kiemelt, nevezetes, a természetes alapú logaritmus. Alapszáma az e = 2,718281828459… irracionális szám, mely egy nevezetes sorozatnak a határérték, a sorozat:

(1+1/n)ⁿ,

ahol n tart a végtelenhez. A logaritmus azonosságai:

log_a (b*c) = log_a b + log_a c,

log_a (bⁿ) = n*log_a b,

log_a (b/c) = log_a b – log_a c,

log_a b = log_c b/log_c a.

Természetesen az azonosságokban az alapok és az argumentumok a definíciónak megfelelnek, az „n” bármely valós szám lehet (így a gyökkitevő osztást jelent), az utolsó pedig, az új alapra való áttérés lehetőségét biztosítja. Az azonosságok bizonyításától itt eltekintünk.

Algebrai műveletek. Azokat a műveleteket, amelyek a négy alapművelet, a hatványozás és a gyökvonás véges-sok lépésű alkalmazásával végrehajthatók, algebrai műveleteknek nevezzük.

Nem algebrai, transzcendens műveletek. A valós kitevőjű hatvány(ozás), a logaritmus, illetve a számelmélettől kissé idegen (de sokak által természetesen ismert) szögfüggvények és azok inverzei nem írhatók le algebrai műveletekkel, ezért ezeket nem algebrai, vagy másképpen transzcendens műveleteknek nevezzük.

Számtest. A valós számok algebrailag – a fentebb leírt összeadásra és szorzásra nézve – számtestet alkotnak. Pontosabban a valós számok teste, egy Archimédeszien rendezett teljes test. (A számtest fogalmához ajánlom elolvasni az algebra című fejezetet.) Azaz a testaxiómák mellett érvényes rá a rendezési axiómarendszer, valamint a teljességi axióma. Az Archimédeszi tulajdonság azt jelent, hogy bármely x>0 és y≥0 valós számokhoz létezik olyan n természetes szám, hogy n*x≥y (mely gyakorlatilag a szakaszmérés alapját jelenti.) A rendezés a szokásos: ≤, mely reláció reflexív, tranzitív és antiszimmetrikus. A teljességi axióma pedig Cauchy-féle sorozatokkal megfogalmazva: bármely valós számokból álló, szigorúan monoton, korlátos sorozat konvergens és határértéke szintén valós szám. (Ami ugyanazt jelenti, hogy a valós számegyenes folytonos, nincs rajta lyuk, a valós számok teljesen kitöltik.) Algebrailag viszont nem zárt. A zártság azt jelentené, hogy bármely valós együtthatós legalább első fokú algebrai egyenletnek (amelyben az ismeretlenek mellett csak a négy alapművelet és a gyökvonás jele szerepelhet – véges sokszor), van valós megoldása. Ez pedig nyilván nincs így, hiszen az x² = -1 egyenlet például nem oldható meg a valós számok körében. Egy testet zárttá testbővítéssel tehetünk. A komplex számok teste, a valós számtest olyan bővítése, amely algebrailag zárt. Ismerjük még a valós számok algebrai – nem algebrai csoportosítását. Egy valós szám algebrai, ha létezik olyan legalább elsőfokú racionális (!) együtthatójú egyenlet, melynek gyöke a szám gyöke. Ha nem létezik ilyen egyenlet, akkor a szám nem algebrai.

Racionális számtest. A racionális számok is testet alkotnak, érvényes rá az Archimédeszi tulajdonság, viszont ez a test nem teljes. Igaz viszont, hogy minden végtelen elemszámú test izomorf a racionális számok testével. Azt is mondhatjuk, hogy az izomorfiától eltekintve egyetlen legszűkebb számtest létezik, a racionális számok teste. A racionális számoknak végtelen sok egyszerű adjunkcióval (=elem hozzáadással) létrehozható, a valós számoknál szűkebb testbővítése létezik. Ilyen például az

r + p*√2

alakú számok halmaza, ahol r és p racionális számok. Természetesen a legfontosabb bővítése a valós számok teste.

Komplex számok. A fentebb leírt x² = -1 egyenlet nem oldható meg a valós számok körében. A megoldásához a -1-ből négyzetgyököt kellene vonni, mely a négyzetgyökvonás definíciója értelmében nem lehetséges. Jelöljük ennek, az egyelőre végrehajthatatlan műveletnek az eredményét i-vel és nevezzük képzetes egységnek. Formailag bánjunk úgy vele, mint egy algebrai kifejezéssel. Ekkor az a*i alakú számokat képzetes számoknak nevezhetjük, ahol „a” valós szám. A képzetes számok körében az összeadás és kivonás, valamint a valós számmal való szorzás korlátlanul elvégezhető, ha a 0-t, mint 0*i-t is képzetes számnak tekintjük. A szorzás viszont már kivezet ebből a számkörből (vissza a valós számok körébe), hiszen definíciószerűen: i*i= -1, azaz valós szám. A képzetes számok a valós számoknak nem testbővítése, hiszen a valós számnak képzetes számmal való összegét például még nem definiáltuk. Ahhoz, hogy testbővítést hajtsuk végre, nem elég a képzetes szám fogalma. Mivel eddigi fogalmaink szerint egy képzetes számot és egy valós számot összeadni nem tudunk, vezessük be – az ezt a műveletet is tartalmazó – a+b*i alakú képzetes számokat, ahol „a” és „b” valós számok, i pedig a képzetes egység. A valós számok teljesen kitöltik a valós számegyenest, ezért ha ábrázolni szeretnénk a komplex számokat, akkor egy újabb dimenzióra van szükség. A valós számegyenes 0 pontjába állítsunk egy merőlegest, ez legyen a képzetes tengely, melyen a képzetes számok találhatók. A két tengely meghatároz egy síkot, melyet komplex számsíknak nevezünk. Az a+b*i komplex számok pedig, a sík (a,b) koordinátájú pontjai. Az „a” a komplex szám valós része, melyet a valós tengelyen kereshetünk meg, mint koordinátát. A „b*i” a komplex szám képzetes része, melyből a b-t, mint koordinátát a képzetes tengelyen találjuk. A sík pontjait is tekinthetjük komplex számoknak, de jól reprezentálják (főleg az összeadásnál és kivonásnál) a komplex számokat a 0-ból az (a,b) pontba mutató helyvektorok is, tehát felfoghatjuk őket vektoroknak is. A komplex számok a b=0 választással a valós számokat magukban foglalják, ilyen módon a valós számokra, mint a+0*i alakú komplex számokra is gondolhatunk.

Komplex konjugált. Az a+b*i komplex konjugáltján a a-b*i komplex számot értjük. A valós számok komplex konjugáltja önmaga, a képzetes számok komplex konjugáltja a szám -1-szerese. A szám és komplex konjugáltjának összege valós szám (2*a). A szám és komplex konjugáltjának szorzata ismét valós: a² + b², hiszen i*i= -1.

Komplex szám abszolút értéke. Egy komplex szám abszolút értéke mindig nem negatív, és 0 csak akkor, ha a komplex szám maga a 0. A komplex szám abszolút értéke a komplex szám és konjugáltja szorzatából vont négyzetgyök. Másképpen a komplex számsíkon a komplex szám és a 0 (koordinátarendszerben gondolkodva: origó) távolsága, a tengelyeken felvett egységekben (indukált metrikában) számolva. Ami ugyanaz jelenti, mintha a vektoros reprezentációban a vektorok hosszát számítanánk. Valós számokra ez a definíció természetesen szintén a valós szám abszolút értékét jelenti. Fentebb említettük, hogy a valós számok rendezett testet alkotnak. A most definiált metrika (nagyság) a komplex számokat nem tette rendezetté, sőt semmilyen metrikával nem lehet rendezetté tenni, nem lehet őket nagysági sorrendbe rakni úgy, mint a valós számokat. Arról lehet beszélni, hogy egyik komplex szám abszolút értéke nagyobb a másiknál, de nagyságuk viszonyáról nem beszélhetünk. A teljesség viszont a valós számoktól öröklődik, azaz a komplex számok hézagmentesen lefedik a komplex számsíkot.

Műveletek komplex számokkal. Műveleteket – a permanencia elvnek megfelelően – a komplex számokkal úgy végzünk, mint algebrai kifejezésekkel. Összeadás és kivonásnál a valós és képzetes részekkel külön-külön elvégezzük a műveleteket. Szorzásnál két tagnak két taggal való szorzása szerint, majd összevonásokat hajtunk végre, és közben a két képzetes rész szorzásakor figyelünk az i definíciójára. Osztáskor a törtet a nevező komplex konjugáltjával bővítjük, így kaphatunk újra komplex számot. Ezt a művelet végrehajtási módszert algebrainak szokták nevezni.

Komplex számok trigonometrikus alakja. A komplex számokat, főleg a magasabb rendű műveletek végzése miatt, jobb trigonometrikus alakban felírni. Az a+b*i komplex szám trigonometrikus alakja: r*(cos(α)+i*sin(α)), ahol r a komplex szám abszolút értéke, α pedig az a szög, amit a vektoros reprezentációban, a komplex szám bezár, a valós tengely pozitív felével. A magasabb rendű műveletek végzése trigonometrikus alakban nagyon egyszerű:

(p*(cos(α)+i*sin(α))*(r*(cos(β)+i*sin(β)) = p*r*(cos(α+β) + i*sin(α+β)),

(p*(cos(α)+i*sin(α))/(r*(cos(β)+i*sin(β)) = p/r*(cos(α-β) + i*sin(α-β)), (ahol r≠0),

(r*(cos(α)+i*sin(α)))ⁿ = rⁿ*(cos(n*α)+i*sin(n*α)).

Gyökvonáskor a nagyságából n. gyököt vonunk, az argumentumot pedig, a gyökkitevővel osztjuk (természetesen n≠0). A képletek helyessége a trigonometriából jól ismeretes addíciós tételek alapján könnyen beláthatók.

Komplex számok exponenciális alakja. Hasonlóan a trigonometrikus alakhoz létezik exponenciális alak is, melyet szintén a magasabb rendű műveletek végzésekor célszerű használni. Az a+b*i komplex szám exponenciális alakja: r*eⁱ^*α , ahol e a természetes logaritmus alapja, r a komplex szám abszolút értéke, α pedig a reprezentáló vektora irányszöge. A magasabb rendű műveletek végzésekor ugyanúgy kell eljárni, mint a trigonometrikus alakban, a nagyságukkal a kérdéses műveletet, a szögekkel az eggyel alacsonyabb rendű műveletet kell végrehajtani.

Euler formula. Ha felírjuk a -1-et mint komplex számot exponenciális alakban (az irányszöge π), akkor a matematika egyik leghíresebb és talán legszebb összefüggését, az Euler formulát kapjuk. Olyan összefüggést melyben a -1, a természetes logaritmus alapja, a képzetes egység és a π szerepel. Nevezetesen:

-1 = eⁱ^*π.

Ennél szebben talán semmi nem igazolja a képzetes számok létjogosultságát.

Egységgyökök. Az algebra alaptétele szerint, minden legalább elsőfokú algebrai egyenletnek van gyöke a komplex számok körében. Másképpen, illetve részletesebben fogalmazva, minden n-edfokú algebrai egyenletnek – a multiplicitásokat is beszámítva – pontosan n darab gyöke van a komplex számok körében. Ebből az következik, hogy annak az egyszerű egyenletnek (binom) is, hogy xⁿ = 1. Azokat a komplex számokat, amelyek kielégítik ezt az egyenletet, komplex egységgyököknek nevezzük. Trigonometrikus alakjuk:

cos(2*k*π/n)+i*sin(2*k*π/n), (ahol k=0,1,2,…,n-1)

Ha ábrázoljuk a komplex számsíkon az n. egységgyököket, akkor azok az │a│=1 egyenletű egységkör kerületén helyezkednek el, egy n oldalú szabályos sokszög csúcsaiban, amelynek egyik csúcsa a valós 1-ben van. Egy n. egységgyököt primitív egységgyöknek nevezünk, ha semmilyen n-nél alacsonyabb fokszámú binom egyenletnek nem gyöke. A primitív egységgyökök számát a φ(n) adja, ahol φ, az úgynevezett Euler-féle függvény (azaz az n-hez relatív prím, n-nél kisebb természetes számok száma).

Permutációk. A továbbiakban essen néhány szó a kombinatorikáról. A kombinatorika a matematikának az az ága, mely a véges halmazok numerikus problémáival foglalkozik. Alapvetően három témakörre tagozódik: permutációk, kombinációk és variációk. Mindegyikből létezik ismétlés nélküli és ismétléses is.

Vegyünk egy n elemű halmazt, az egyszerűség kedvéért 1,2, … , n természetes számokat. Egy permutációján, egy felírási sorrendjét értjük. A permutációk számát (hányféleképpen rakhatjuk őket sorba) a következőképpen határozhatjuk meg: az első helyre még n, a másodikra már csak (n-1), a harmadikra (n-2) elemet választhatunk, és végül 2-ből, majd csak 1-ből választhatunk. Tehát a lehetséges esetek száma:

P_n = n*(n-1)*(n-2)* … *2*1 = n!

n!-t n faktoriálisnak olvassuk és a fentebbi szorzat a definíciója. Gyakorlati példája lehet: egy verseny, ahol nem lehet holtverseny, hányféle sorrend jöhet létre, a verseny végére.

Permutációk inverziói. Ha a permutációban szereplő elemeknek van egy természetes sorrendje, akkor a permutációban a természetes sorrenddel ellentétes sorrendben lévő elem-párok számát a permutáció inverziószámának nevezzük. Ha egy permutációban két szomszédos elemet felcserélünk, akkor az inverziója megváltozik, azaz paritása megváltozik. Néha ugyanis csak az a fontos, hogy egy permutáció inverziószáma páros vagy páratlan, és csak attól függ, hogy egy bizonyos rendezés elemcserékkel megvalósítható-e. Szép példa erre a 15-ös játék. Ha a mezőkbe véletlen szerűen rakjuk be a számokat, akkor 50% az esélye, hogy rendezhető-e a játék szabályai szerint. Ha ugyanis az inverziószáma páros, akkor igen, ha nem, akkor nem rendezhető. Hasonló problémák jelentkezhetnek a 3*3*3-as Rubik kockánál, ha a kocka szétesik, és nem rendezetten rakjuk össze, hanem véletlenszerűen, akkor lehet, hogy minden elemet a helyére rakhatunk forgatással, de a végén egy sarokelem önmagában elforgatva fog elhelyezkedni, és szín szerint nem lehet a helyére forgatni, hiszen minden forgatási sor végén, legalább még egy kocka helye(zete) megváltozik. Mivel a sarokelem háromféleképpen foglalhatja el a helyét, ezért a véletlen összerakás után 1/3 a valószínűsége annak, hogy a kocka kiforgatható. Ez egyfajta térbeli inverzió, mely a nagyobb él-számú bűvös kockák esetén még helyes összerakás esetén is problémát okozhat.

Ismétléses permutációk. Ha az elemek között vannak azonosak, megkülönbözhetetlenek, akkor a permutációt ismétlésesnek nevezzük. Az ismétléses permutációk számát a következő képlet adja meg:

P_n⁽^{o,p,q,
…,z)} = n!/(o!*p!*q!* … z!),

ahol n = o + p + q + … + z. A képlet helyességét úgy a legegyszerűbb belátni, hogy tekintsük egy pillanatra mindegyiket különbözőnek, ennek permutációszáma n!. Aztán az azonosakat permutáljuk önmaguk között, nyilván ahányféleképpen ezt megtehetjük, annyival osztani kell az elsődleges sorrendberakások számát, hiszen az azonosak egymásközti cseréjével nem jön létre újabb permutáció. Természetesen ezt minden azonos elemeket tartalmazó csoporttal elvégezhetjük, azaz minden ismétlési szám faktoriálisával osztani kell az n!-t.

Kombinációk. Permutációkban a halmaz minden elemét felhasználjuk, kombináció és variációban néhány elemet kiválasztunk az alaphalmazból. Ha n elemből k-t választunk ki, akkor k-ad rendű kombinációról vagy variációról beszélünk. Kombináció esetén a kiválasztás sorrendjére nem vagyunk kíváncsiak, míg variáció esetén még azt is figyelembe vesszük. A kombinációnál maradva, a kombinációkra úgy is rákérdezhetünk, hogy egy n elemű halmaznak hány k elemű részhalmaza létezik. A kombinációk számát a következő képlettel kaphatjuk meg:

C_n_,k = n!/(k!*(n-k)!),

melyet binomiális együtthatóknak is neveznek. A matematikában ezt a kifejezést röviden n alatt a k-nak is nevezik és

alakban is írhatjuk. Ez a matematikai statisztikában visszatevés nélküli mintavételnek is szokták nevezni. Gyakorlati példája a különböző lottóhúzások.

Ismétléses kombinációk. Ha a kombináció létrehozásakor egy elemet többször is kiválaszthatunk (visszatevéses mintavétel), akkor ismétléses kombinációról beszélünk. Egy n elemű halmaz k-ad rendű ismétléses kombinációja egyenlő egy n+k-1 elemű halmaz k-adrendű egyszerű kombinációjával, képlettel:

Variációk. Ha az elemek kiválasztásánál a kiválasztás sorrendje is számít, akkor variációról beszélünk. Ez a kombinációk számának k!-szorosa, azaz:

V_n_,k = n!/(n-k)!,

hiszen a kiválasztás után még sorrendbe is kell rakni a kiválasztott elemeket. Gyakorlati példája: egy versenyen (ahol nem megengedett a holtverseny) például hányféle dobogós helyezett lehet.

Ismétléses variációk. Ha a variációk előállításánál többször is kiválaszthatunk egy elemet, akkor ismétléses variációkról beszélünk. Ennek számát, mivel minden helyre n elemet választhatunk (mintha visszatennénk) n^k. Gyakorlati példája a totó, ahol minden helyre 3 lehetőségből választhatunk (1,x,2), így az ismétléses variációk száma (a k itt nagyobb is lehet n-nél) 3¹⁴.

Binomiális tétel. Ha (a+b)ⁿ hatványt szeretnénk tagonként felírni (kifejteni), akkor a olyan n+1 elemű összeget kapunk, ahol a tagok együtthatói a n elem k-ad rendű kombináció értékei, miközben k 0 és n között változik. Az egyszerű leírhatóság kedvéért jelölje most B(n,k) az n alatt a k-t. Ekkor a hatvány így fejthető ki:

(a+b)ⁿ = B(n,0)*aⁿ*b⁰+B(n,1)*a^n-1*b¹+B(n,2)*a^n-2*b²+ … +B(n,n-1)*a¹*b^n-1+B(n,n)*a⁰*bⁿ.

Binomiális együtthatók tulajdonságai. Az előző pontban használt jelölés szerint:

B(n,0) = 1, (0 darab elemet egyféleképpen választhatunk ki a halmazból)

B(n,1) = n, (1 elemet n-féleképpen)

B(n,n-1)= n, (ugyanannyi, mint ha egyet választunk ki, mert gyakorlatilag a kiválasztás két részre bontása a halmaznak, kiválasztottakra és ki nem választottakra, és ha ezt gondolatban felcseréljük, az a kiválasztási lehetőségeken nem változtat)

B(n,k) = B(n,n-k), (az előző sorokban leírtakból következik, hogy a binomiális együtthatók szimmetria tulajdonsággal rendelkeznek, 1-ről bizonyos értékig növekednek, majd ugyanazon értékek következnek amelyek a maximumig előfordultak, csökkenő sorrendben)

B(n,0)+B(n,1)+B(n,2)+ … +B(n,n-1)+B(n,n) = 2ⁿ, (ez egyszerűen belátható, ha (1+1)ⁿ értékét kétféleképpen adjuk meg, egyrészt a kifejtési tétellel – ez a baloldal, másrészt, ha előbb a két darab 1-est összeadjuk, akkor rögtön 2ⁿ-t kapunk)

B(n,k) = B(n-1,k-1) + B(n-1,k), (ez a nevezetes összegzési tulajdonsága, melynek alapján a binomiális együtthatók könnyen előállíthatók, kikerülve a faktoriális és osztással járó definiáló képletet).

Pascal háromszög. Az előző sorokban leírt összegzési tulajdonság alapján a binomiális együtthatók egy háromszög alakba rendezhetők, melyet megalkotójáról Pascal háromszögnek nevezünk. Ebben a sémában bármely elem vagy egy, vagy a felette lévő két elemnek az összege:

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

. . . . . . . . .

A Pascal háromszög szépen mutatja a binomiális együtthatók tulajdonságait, a szimmetriát, az összegzéssel történő származtatását, és minden sor összege a megfelelő 2 hatvány. Az első sor a 0. hatványnak felel meg, a második az első, a harmadik a második hatványnak, stb.