Közepek

 

A középiskolai matematika oktatásában egyre nagyobb szerepet kapnak a halmazok, a relációk és a függvények. A függvényszerű oktatás kiteljesedésekor érdeklődésre tarthat számot a középiskolában tárgyalható közepeknek az azonos módon történő származtatása – függvények segítségével. Az emelt szintű matematika-oktatásban vagy szakkör keretében elképzelhető a téma feldolgozása, mely módot nyit az önálló munkára, jól szolgálja a tananyag mélyebb megértését.

 

Nézzük a közismert közepeket (feltételezve, hogy a változók mind megengedett értékűek):

 

Számtani (vagy aritmetikai) közép:

 

 

Mértani (vagy geometriai) közép:

 

 

Harmonikus közép:

 

 

Négyzetes közép:

 

 

Ezen közepek között a következő nagyságrendi viszony érvényes:

 

 

A négyzetes középnek az általánosítása a hatványközép. Ha a négyzetet és a négyzetgyököt k. hatvánnyal és k. gyökkel helyettesítjük, ezt kapjuk:

 

 

Nem nehéz meglátni a hasonlóságot a hatványközép és a többi, összegzést tartalmazó közép között. Az általánosítás megfordításaként a hatványközép k = 2 esetén négyzetes, k = 1 esetén számtani, k =  1 esetén harmonikus közepet ad.

 

De vajon ezzel mindenféle rokonság feltárva és nincs más logikai kapcsolat a közepek között. Merjünk arra gondolni, hogy itt még lehet valamit találni. Hátha még a mértani közép is bekerül a rokoni körbe. Vegyük észre, hogy a közepek definíciói valamilyen függvény-inverzfüggvény kapcsolatot tartalmaznak. A négyzetes középnél az elemeket először négyzetre emeljük, majd négyzetgyököt vonunk, hatványközépnél k. hatványt képezünk, majd k. gyököt vonunk. Általánosítsunk. Ne ragaszkodjunk a hatványozáshoz. Legyen

 

F(x) : (0,∞) → (–∞,∞)

 

egy szigorúan monoton függvény. Mivel ez invertálható, legyen az inverze

 

F-1(x) : (–∞,∞) → (0,∞).

 

Az a pozitív valós számot az a1, a2,…,an pozitív számok additív függvényközepének nevezzük, ha a következőképpen áll elő:

 

 

Az m pozitív valós számot az a1, a2,…,an pozitív számok multiplikatív függvényközepének nevezzük, ha a következőképpen áll elő:

 

 

A két definiáló képletet összevetve láthatjuk, hogy a másodikban az összegzést a szorzás, a n-nel való osztást az n. gyök váltotta fel. Már most eszünkbe juthatnak erről a logaritmus azonosságai, ahol szorzat logaritmusa egyenlő a tényezők logaritmusának összegével (természetesen megfelelő feltételek teljesülése esetén).

 

 

Additív függvényközepek

 

A)

 

Ha az additív függvényközép definíciójában F(x) = xc (ahol c<>0 valós konstans), akkor az így előálló közepeket hatványközepeknek nevezzük. Tehát:

 

 és 

 

 

1.) Ha c = 1, akkor számtani közép adódik:

 

 

2.) Ha c = k (k>1 egész), akkor a hatványközép adódik:

 

 

3.) Ha c =  1, akkor a harmonikus közepet kapjuk:

 

 

4.) Ha c = –k (k>1 egész), akkor hatványozott harmonikus közepet kapunk:

 

 

5.) Ha  (k>1 egész), akkor inverz hatványközép adódik:

 

 

6.) Ha  (k>1 egész), akkor inverz hatványozott harmonikus közepet kapunk:

 

7.) Ha  (p, q > 1 egész), akkor vegyes hatványközepet kapunk:

 

 

8.) Ha  (p, q > 1 egész), akkor inverz vegyes hatványközepet kapunk:

 

B)

 

Ha az additív függvényközép definíciójában F(x) = logk x (ahol k>1 egész), akkor az így előálló közepeket exponenciális közepeknek nevezzük. Tehát:

 

F(x) = logk x  és  F-1(x) = kx

 

Ez a függvény k-tól függetlenül mindig ugyanazt a közepet állítja elő:

 

 

Ez a közép, amint az látható, a mértani közép.

 

C)

 

Ha az additív függvényközép definíciójában F(x) = kx (ahol k>1 egész), akkor az így előálló közepeket logaritmikus közepeknek nevezzük. Tehát:

 

F(x) = kx   és  F-1(x) = logk x

 

Ez a függvény k-tól függetlenül mindig ugyanazt a közepet állítja elő:

 

 

Az F(x) függvény további speciális eseteitől itt és most eltekintünk.

 

 

Multiplikatív függvényközepek

 

A)

 

Hatványközepek:

 

  és             (ahol c<>0 valós)

 

Bármely c-re:

 

 

Azaz a mértani közép adódik.

 

B)

 

Exponenciális közepek:

 

F(x) = logk x  és  F-1(x) = kx esetén

 

 

C)

 

Logaritmikus közepek:

 

  és    esetén

 

 

Ez viszont a c értékétől függően az additív hatványközepeket adja. (Lásd: additív függvény szakasz 1. – 8. pont.)

 

Következmény: A multiplikatív logaritmikus közepek megegyeznek az additív hatványközepekkel. Az additív exponenciális közép megegyezik a multiplikatív hatványközéppel. Az additív logaritmikus közép és a multiplikatív exponenciális közép viszont különböznek.