A háromszög két nevezetes tétele

 

(a KiSFiaM tétel)

 

 

Jelöljük az ABC háromszög nevezetes pontjait a következőképpen:

 

K: a háromszög Köré írható Kör Középpontja,

S: a háromszög Súlypontja,

M: a háromszög Magasságpontja,

F: a KM szakasz Felezőpontja.

 

 

Euler-egyenes

 

Tétel: A háromszögben a K, S és M pont kollineáris, azaz a felsorolás szerinti sorrendben egy egyenesen helyezkedik el. Ennek az egyenesnek a neve: Euler-egyenes. Az S a KM szakasz K -hoz közelebbi harmadoló pontja. (Az alcímben szereplő KiSFiaM szóban a magánhangzók számának aránya ugyanez, és jó sorrendben is van: K és S között egy, S és M között kettő magánhangzó található a szóban.)

 

Bizonyítás: Az ábra szerint a következő azonosítások érvényesek:

 

 

 

Azaz a K pontot tekintjük a sík origójának. Ekkor a súlypontba mutató helyvektor:

 

 

Azt kell belátnunk, hogy az  valóban a magasságpontba mutat, mint ahogy azt az ábrán rajzoltuk. Tekintsük a következőt:

 

 

Vegyük a következő skaláris szorzatot:

 

 

Mivel a=b=c=r (mindegyik vektor hossza egyenlő a háromszög köré írható kör sugarával) így az előbbi skaláris szorzat nulla. Ami azt jelenti, hogy a CM szakasz merőleges az AB oldalra, vagyis a CM az AB oldalhoz tartozó magasságvonalon helyezkedik el. Hasonlóan a másik három oldalra vonatkozóan ugyanezt beláthatnánk, azaz az M valóban a háromszög magasságpontja. Ezzel azt is beláttuk, hogy a KM szakasznak a harmadoló pontjában a háromszög S súlypontja, hiszen az  vektor az  vektornak a harmada. Q.E.D.

 

Megjegyzés (1): mivel az  vektor hossza azonos, az ábra szerinti AK’BK négyszög rombusz. Ezért az átlóira illeszkedő  vektorok nyilván merőlegesek egymásra. (Másképpen fogalmazva: két azonos nagyságú vektor összege és különbsége merőleges egymásra).

 

Megjegyzés (2): természetesen szabályos háromszög esetén egyértelmű Euler-egyenes és KM szakasz sem létezik, mert ekkor a K, S és M pontok egybeesnek.

 

 

Feuerbach-kör

 

Tétel: A háromszögben a magasságtalppontok, az oldalfelező pontok és a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezőpontja egy körön helyezkednek el. Ennek a körnek a neve: Feuerbach-kör, és középpontja a KM szakasz F felezőpontja. Szokás ezt a kört a kilenc pont körének is nevezni. A Feuerbach-kör sugara a háromszög köré írt kör sugarának a fele. A Feuerbach-kör a háromszög köré írható körnek az M magasságpontra, mint hasonlósági középpontra vonatkozó, 1/2 -ed arányú kicsinyítése.

 

Bizonyítás: Az ábra szerint a következő azonosítások érvényesek:

 

 

 

Azaz itt is a K pontot tekintjük a sík origójának. Ekkor igazak a következők:

 

 

Ugyanakkor:

 

 

(Egyébként az FMc szakasz a KCM háromszög KC oldalával párhuzamos középvonala.)

 

Az MKFcTc egy derékszögű trapéz, melynek az FT szakasz a középvonala. Így az FTTc és az FTKc derékszögű háromszögek egybevágóak, átfogóik egyenlő hosszúak, azaz:

 

 

Ezáltal a C csúcshoz kapcsolódó Tc, Fc és Mc pontok ugyanolyan, r/2 távolságra vannak az F ponttól, azaz egy körön helyezkednek el. Ugyanígy belátható az A és B csúcsokhoz tartozó (Ta,Fa,Ma, és Tb,Fb,Mb) pontokról is, hogy ugyanezen a körön vannak.

 

Mindebből az is következik, hogy az M pontnak az Ma pont vonatkozó tükörképe A, az Mb pontra vonatkozó tükörképe B és az Mc pontra vonatkozó tükörképe C. Azaz a Feuerbach-körnek az M középpontú kétszeres nagyítása a háromszög köré írható kör, ahogy a tétel is állítja. Q.E.D.

 

Megjegyzés: Szabályos háromszög esetén is létezik Feuerbach-kör, csak ekkor egybeesik a beírt körrel, középpontja a háromszög középpontja lesz. A kilenc pontból pedig az oldalfelező pontok és a magasságtalppontok egybeesnek, így csak hat pont köréről beszélhetünk.

 

A KM szakasz hossza

 

A fenti megjegyzésekből kiderült, hogy szabályos háromszög esetén a KM szakasz nem létezik, vagy másképpen a hossza nulla. De milyen hosszú akkor, ha a háromszög nem szabályos.

 

Feladat: fejezzük ki a KM szakasz hosszát a háromszög oldalaival.

 

Megoldás: mivel a fentebbi tételek bizonyításánál használt  vektorok (ezen az ábrán: ) hossza r, a köré írható kör sugara, ezért elsőnek ennek hosszát adjuk meg az oldalak segítségével. Tekintsük a következő ábrát:

 

 

Válasszuk ki a háromszögnek az egyik hegyesszögét (ilyen biztosan van), legyen ez a B csúcsnál. Rajzoljuk meg a háromszög C csúcsából induló magasságát, melynek talppontja a c oldalon legyen Tc. Húzzuk meg a háromszög köré írható körének a C -ből induló átmérőjét. Az AC’C szög és az ABC szögek kerületi szögek, ezért egyenlők. Ezáltal az AC’C és TcBC derékszögű háromszögek hasonlóak. Ezért:

 

 

Ugyanakkor a háromszög területképletéből:

 

     

Ezek után nézzük a KM szakasz hosszát. Jelölje rendre az  az  vektor-párok szögét, a rajz szerint. A fentebbi bizonyítások alapján:

 

 

De az oldalakkal és a csúcsokba húzott sugarakkal alkotott háromszögekre a következő koszinusz tételek igazak:

 

 

Ezekből a koszinuszok:

 

 

Helyettesítsük ezeket az m2 képletébe és vegyük figyelembe, hogy x = y = z = r:

 

 

ahol s a félkerület. Ezzel a KM = m szakaszt kifejeztük az oldalak segítségével.