Differenciálgeometria (11)

Felületi görbék ívhossza

Legyen az egy felület vektorparaméteres egyenlete, pedig a paramétersík egy görbéje. Ekkor az

az felület egy felületi görbéje. Most az a feladatunk, hogy ennek a felületi görbének egy t₀ ponttól egy t > t₀ pontig mért ívhosszát meghatározzuk. A görbék elméletéből tudjuk, hogy az ívhossz az érintővektor hosszának a fenti t₀ és t határok közötti t szerinti integrálja, azaz:

Az integrál értékének meghatározásához ki kell számítani az érintővektor hosszát:

Ez utóbbi az Einstein-féle konvenció szerinti formula, ahol az indexek egymástól függetlenül 1 és 2 értéket vehetnek fel, így egy négytagú összeget jelent (mint az előtte lévő összeg is, csak a vegyes-szorzatok egyenlők és összevonhatók). Ebben a képletben a

a felület paramétervonal-érintői. Ezeknek a skaláris szorzata jelenik meg a képletben. Ezeket a belső szorzatokat a felület első alapmennyiségeinek nevezzük és így jelöljük:

Részletesen:

Jól látható, hogy itt alapvetően csak három értékről van szó. Igaz, hogy származtatása szerint négy lenne, de különböző paraméterek szerinti deriváltak szorzata független a tényezők sorrendjétől (mivel a vektorok skaláris szorzása kommutatív művelet), így azok azonosak. Ha szükség lesz az alapmennyiségek determinánsára, azaz négy értékre, akkor olyan szimmetrikus determináns kell felírnunk, amelynek a mellékátlóban ugyanazon g₁₂ = g₂₁ értékek szerepelnek:

Az első alapmennyiségek segítségével a felületi görbe ívhossza tehát:

Ha értelmezzük a képletet, megállapíthatjuk, hogy az ívhossz kiszámításához az -n túlmenően magát a felületet nem is kell ismerni (azaz a görbe háromdimenziós térbe való beágyazását, például az alakját), elegendő a paramétervonal-érintők belső szorzatának az ismerete. Ezért is indokolt a -knak az alapmennyiségek elnevezése, továbbá azért is, mert az ívhossz mellett a szögmérés és a felszínmérés szempontjából is alapvető fontosságú lesz.

Az s(t) -nek a felső határ szerinti deriválásával majd négyzetre emeléssel ezt kapjuk:

Ez utóbbi összefüggést a felület első alapformájának nevezzük. Ennek felhasználásával (formálisan dt négyzetével szorozva az egyenlet mindkét oldalát) két közeli pont közelítő távolságnégyzete:

A felület alapformája egy kvadratikus forma, mely pozitív definit. Ennek a formának a diszkriminánsa az alapmennyiségekből alkotott fentebbi determináns. Egy kvadratikus forma akkor definit, ha a diszkriminánsa pozitív. Ezt könnyen leellenőrizhetjük:

ahol a paramétervonal-érintők hajlásszöge. Mivel a diszkrimináns pozitív, ezért a kvadratikus forma definit. Mivel pedig a g₁₁ > 0 (ez egy – a felület definíciója szerint nem nulla – vektor hosszának a négyzete), ezért pozitív definit.

Felületi vektorok szöge

A felületi vektorok a felület egy adott pontjának az érintősíkjában helyezkednek el. Mivel az érintő sík a felület adott pontján átmenő felületi görbék érintői jelölik ki, így a pontban két felületi vektor szöge azonos a ponton átmenő, adott érintővektorú görbék hajlásszögével. Azaz a felületi vektorok szöge és a felületi görbék hajlásszöge azonos módon számítható ki.

Legyen

az felület egy pontjában két el nem tűnő felületi vektor. Jelöljük a két vektor szögét -vel. Ekkor:

Mivel a felületi vektorok szögének kiszámítási képletében újra szerepelnek a paramétervonal-érintők skaláris szorzatai, nem meglepő, hogy itt is használhatjuk a felület első alapmennyiségeit. A számlálóban a két vektor skaláris szorzata, a nevezőben a vektorok hossza miatt (amely a vektor négyzetéből vont négyzetgyök).

Érdekes lehet a paramétervonalak érintőinek szöge. Most számoljuk ki ezt. Ehhez meg kell adni a paramétervonal-érintőket. Az első érintő:

Hasonlóan a második:

E két vektor szögének koszinusza:

Ebből az olvasható ki, hogy a két paramétervonal akkor és csak akkor merőleges, ha g₁₂ = 0.

A felszín értelmezése és kiszámítása

A felület értelmezését a görbe ívhosszának értelmezéséhez hasonlóan, de annál sokkal óvatosabban kell eljárni. A felületet a felületbe írt olyan poliéderekkel közelítjük (a poliéder csúcsai a felületen vannak), amelynek minden lapja háromszög (a terület egyszerű kiszámítása miatt).

Legyen az a paramétersík T tartományán értelmezett elemi felület. Legyen a B a T -nek egy egyszeresen összefüggő, korlátos, zárt és mérhető résztartománya. A B -nek a képe a felületen egy felületdarab. Ebbe a felületdarabba írt poliédert normálisnak nevezzük, ha:

- a poliéderhez a B -nek olyan háromszögrendszere tartozik, amelyben bármely pont legfeljebb egy háromszög belső pontja.

- a poliéderhez tartozó háromszögrendszer szögeinek van pozitív alsó korlátja.

Egy poliéder sorozatot finomodónak nevezünk, ha B -beli képeiben a maximális oldalhosszak nullához tartanak.

Egy felületdarab felszínén a felületdarabba írt finomodó normális poliéder sorozat felszíneinek közös határértékét értjük, amennyiben az létezik.

Könnyen belátható (mi itt ettől eltekintünk), hogy a fenti kritériumok szükségesek, mert ha ezek nem teljesülnek, akkor a tényleges felszíntől akár jelentősen eltérő értékhez tarthatnak a beírt poliédereknek a felszíne.

A felszín értelmezése egy másik módszerrel is lehetséges. Ebben a felszínt a felület érintősíknak paralelogramma alakú darabkáival közelítjük. A felület paramétervonal hálózatához kapcsolódva a paralelogrammák, mint pikkelyek helyezkednek el a felületen. A paralelogrammáknak a felülettel csak egy közös pontjuk van, az egyik csúcspontjuk, mely a paramétervonalak metszéspontja. A paralelogrammák területe a paramétervonalak által meghatározott felületi beosztás területeit közelíti. Ha a paramétervonalak sűrűségét növeljük, azaz a pikkelyek területét csökkentjük, akkor a pikkelyek területének összege a felület felszínéhez tart. Természetesen ez a megközelítés is ugyanazt a felszínt definiálja, mint az előző.

Ezek után lássuk a felszín kiszámítására alkalmas képletet:

Gauss-féle jelölési rendszer

Abban az esetben, ha nem ragaszkodunk az paraméteres leíráshoz és az Einstein-féle konvencióhoz, vagy idegen számunkra, akkor a fentebbi egyenleteket a Gauss-féle jelölési móddal is leírhatjuk. Legyen tehát a felületünk függvénnyel megadva. Az r parciális deriváltjait jelöljük így:

Gauss az ezekből származó első alapmennyiségeket a következőképpen jelölte:

Írjuk fel a fenti összefüggéseket és képletek a Gauss-féle jelölést használva. A felületi görbe ívhossza:

Az első alapforma:

A felületi érintővektorok:

A skaláris szorzatuk:

A felületi érintővektorok szögének koszinusza:

A felületi érintővektorok szögének szinusza pedig:

A paramétervonal-érintők esetén:

Így ezek szögének koszinusza:

Természetesen itt is az adódik, hogy a paramétervonalak akkor és csak akkor merőlegesek egymásra, ha az F, vagyis a paraméteres jelölésmód szerinti g₁₂ = 0.

A felszín képlete pedig a

felhasználásával:

Most nézzük meg, hogyan számolhatjuk ki a felszínt, ha a felület az Euler-Monge-féle megadási móddal adott. Először adjuk meg a felületet z = f(x, y) explicit alakban. Ekkor tekintsük a felület

paraméteres előállítását. A két paramétervonal-érintő:

Az első alapmennyiségek:

Ezeket felhasználva a felszín:

Második esetben, ha a felületet a implicit alakban adjuk meg, akkor jó esetben (a megfelelő derivációs feltételek teljesülnek) ebből a z kifejezhető: . Ekkor a felület (a közvetett függvények deriválásának szabályát alkalmazva):

Ha egy forgásfelület az y = f(x) () görbének az x tengely körüli megforgatásából keletkezik, akkor ez a forgásfelület y² + z² = f²(x) alakban írható fel. Az előző felületképlet segítségével ennek a forgásfelületnek a felszíne a következőképpen számíthatjuk ki:

Mivel az így kapott képlet a forgásfelületnek csak a negyedére vonatkozik, a teljes felszín:

Néhány felület első alapmennyiségei és alapformája

A gömb

A gömb paraméteres előállítása:

Az első alapmennyiségei:

Mivel g₁₂ = 0, így a paramétervonal-érintők egymásra merőlegesek (körök és főkörök). A gömb első alapformája:

A henger

A henger paraméteres előállítása:

Az első alapmennyiségei:

Mivel g₁₂ = 0, így a paramétervonal-érintők egymásra merőlegesek (körök és egyenesek). A henger első alapformája:

A kúp

A kúp paraméteres előállítása:

Az első alapmennyiségei:

Mivel g₁₂ = 0, így a paramétervonal-érintők egymásra merőlegesek (körök és egyenesek). A kúp első alapformája:

z tengelyű forgásfelület

A forgásfelület paraméteres előállítása:

Az első alapmennyiségei:

Mivel g₁₂ = 0, így a paramétervonal-érintők egymásra merőlegesek (körök és f-el leírható vonalak). A forgásfelület első alapformája:

Elliptikus paraboloid (I.)

Az elliptikus paraboloid egyik paraméteres előállítása:

Az első alapmennyiségei:

Mivel g₁₂ <> 0, így a paramétervonal-érintők nem merőlegesek egymásra. Ha A = B, vagyis forgásparaboloidról van szó, akkor viszont g₁₂ = 0, ekkor merőlegesek (körök és parabolák). Forgásparaboloid esetén tehát az első alapmennyiségek:

Az elliptikus paraboloid első alapformája:

Elliptikus paraboloid (II.)

Az elliptikus paraboloid egy másik paraméteres előállítása:

Mivel g₁₂ <> 0, így a paramétervonal-érintők nem merőlegesek egymásra. Ha A = B, vagyis forgásparaboloidról van szó, még akkor sem lesz g₁₂ = 0 (ellipszisek). Forgásparaboloid esetén az első alapmennyiségek ugyanis:

Az elliptikus paraboloid első alapformája:

Problémáim vannak. Azon kívül, hogy az első alapmennyiségek az elliptikus paraboloid második parametrizálásánál igencsak összetettek, még az is zavar, hogy jelentősen különböznek az első prametrizáláskor kapott értékektől. Hogy mi zavar igazán? Minden szakkönyvben a felület első alapmennyiségeiről olvashatunk. Felvetődik bennem a kérdés: függnek-e az első alapmennyiségek a felület paraméteres előállításától? Mert e példa szerint igencsak függnek. Azaz a felület első alapmennyiségeiről csak a paraméteres előállítása mellet, annak figyelembevételével beszélhetünk. Azt mindig meg kell adnunk, ha egyébként a parametrizáció nem világos és egyértelmű.

Ennek okán nézzük meg egy kicsit jobban a forgásparaboloid kétféle paraméteres előállítási módját. Az első előállításnál g₁₂ = 0, azaz a paramétervonalak merőlegesek egymásra. Az u szerinti paramétervonalak a körök (kék), a v szerintiek a parabolák (piros). A merőlegesség tényét a következő ábra szerintem nem cáfolja, inkább megerősíti.

A = 1; B = 1; C = 0,2; D = -4 (a csúcspont z koordinátája)

Most nézzük ugyanilyen alapbeállítással a második parametrizációt. Ekkor g₁₂ <> 0, így a paramétervonalak nem merőlegesek. De egyáltalán hogy néznek ki? Íme:

A = 1; B = 1; C = 0,2; D = -4 (a csúcspont z koordinátája)

Első megállapítás az, hogy nagy a vonalsűrűség a csúcspont körül. Második: ebből nehéz bármit mondani a paramétervonalak milyenségére. Ezért csak két paramétervonalat fogunk ábrázolni:

A = 1; B = 1; C = 0,2; D = -4 (a csúcspont z koordinátája) u = -0,18 (kék); v = 0,15 (piros)

Talán most már merészebbek lehetünk. Valóban úgy néz ki, hogy a paramétervonalak nem merőlegesek egymásra (természetesen pontosan kiszámítható ez a szög, amitől most eltekintünk). Ugyanakkor úgy néz ki, mintha ellipszisek lennének. Az persze érdekes, hogy mindjárt nem is egy, hanem két ellipszis egy paramétervonal. De valóban ellipszisek ezek? Nézzük meg jobban a csúcs környékét. A kéknél kevésbé, de a piros paramétervonalnál jól látszik, hogy ezek a görbék, ha ellipszisek is lennének, biztosan nem zártak. Azaz két nem zárt ellipszisből állnak össze. De nézzük csak meg jobban a paraméteres előállítást. Míg az első parametrizációnál a C(0, 0, -4) valóban a paraboloid csúcspontja, azaz hozzátartozik a felülethez, addig a másodiknál már nincs az a paraméter-pár érték, amely ezt a csúcspontot adná. Addig ugyanis még rendben van, hogy van külön u = 0 és külön v = 0 paramétervonal, még metszenék is ezek egymást, de pont a metszéspontban lyukasak, hiszen a képlet nevezői az u² + v² miatt 0 -k lennének, ami viszont nem lehetséges. Azaz a második parametrizáció egy pont, a csúcspont kivételével ad csak elliptikus paraboloidot.

Néhány felületi görbe ívhossza

Számítsuk ki a gömb egy szélességi körének a kerületét. A gömb paraméteres egyenlete:

A szélességi kör a gömb ilyen paraméteres előállításánál paramétervonal. Paramétervonal esetén az u paraméter állandó, a v pedig a változó paraméter lesz:

A paramétervonal érintője:

A gömb első alapmennyiségei:

Helyettesítsük ezeket az ívhossz képeltébe:

A szélességi kör teljes kerülete:

ahol r = cos(A) a szélességi kör sugara.

Számítsuk ki a hengeres csavarvonal egy menetének ívhosszát! A körhenger paraméteres egyenletrendszere:

A hengeres csavarvonal, mint felületi görbe paraméteres egyenletrendszere:

A paramétervonal-érintő:

A körhenger első alapmennyiségei:

Egy menetet a paraméter-tartománnyal írható le. Így az ívhossz:

Ha B = 0, akkor a hengeres csavarvonal egy menete egy egyszeres körré fajul. Ekkor a kör szokásos kerületi képletét kapjuk a fenti ívhosszból.

Próbáljuk meg kiszámítani a Viviani-görbe hosszát! A Viviani-görbe a gömb és a henger felületi görbéje. Állítsuk elő a görbe paraméteres egyenletrendszerét:

Térjünk át a t helyett egy másik paraméterre a következőképpen:

Az u(t) és v(t) előállításához használjuk a gömb paraméteres egyenletrendszerét:

Ezek alapján a gömb felületi görbéje szerinti ívhossz:

Egyszerű, csak nem tudom integrálni.

Vegyük a görbe gömbtől származó előállítását, de ne felületi görbe szerint számítsuk az ívhosszat, csak önmagában:

Ugyanazt kaptuk, mint a gömb első alapmennyiségei segítségével, csak hosszabban.

Nézzük a henger szerinti parametrizálást:

Az ívhossz (parciális törtekre való bontással):

Következő lap: http://gorbem.hu/MT/DiffGeom12.htm